《二次函数》二次函数

1、二次函数的概念

一般地，形如y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数（quadratic function）.其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.

2、二次函数的表达式

1、一般式：y=ax²+bx+c（a≠0）；

2、顶点式：y=a（x-k）²+h（a≠0），（k，h）为抛物线顶点坐标；

3、交点式：y=a（x-x₁）（x-x₂）（a≠0），x₁、x₂是函数图象与x轴交点的横坐标.

3、二次函数的性质

1、y=ax²

一般地，抛物线y=ax²的对称轴是y轴，顶点是原点.当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点式抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点式抛物线的最高点.对于抛物线y=ax²，$|a|$越大，抛物线的开口越小.

从二次函数y=ax²的图象可以看出：如果a＞0，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；如果a＜0，当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小.

2、y=a（x-h）²+k

一般地，抛物线y=a（x-h）²+k与y=ax²形状相同，位置不同.把抛物线y=ax²向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线y=a（x-h）²+k.

平移的方向、距离要根据h，k的值来决定.

抛物线y=a（x-h）²+k有如下特点：

（1）当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下.

（2）对称轴是x=h.

（3）顶点式（h，k）.

从二次函数y=a（x-h）²+k的图象可以看出：如果a＞0，当x＜h时，y随x的增大而减小，当x＞h时，y随x的增大而增大；如果a＜0，当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小.

一般地，二次函数y=ax²+bx+c可以通过配方化成y=a（x-h）²+k的形式，即

$y=a\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^{2}+\frac{4 a c-b^{2}}{4 a}$

因此，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是$x=-\frac{b}{2 a}$，顶点是（$-\frac{b}{2 a}$，$\frac{4 a c-b^{2}}{4 a}$）.

3、y=ax²+bx+c

如果a＞0，当$x<-\frac{b}{2 a}$时，y随x的增大而减小，当$x>-\frac{b}{2 a}$时，y随x的增大而增大；

如果a＜0，当$x<-\frac{b}{2 a}$时，y随x的增大而增大，当$x>-\frac{b}{2 a}$时，y随x的增大而减小.