《直线与圆锥曲线联立》知识速查

直线与圆锥曲线联立

知识点1  直线与圆锥曲线位置关系判断

将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于$x$(或$y$)的一元方程：$ax^{2}＋bx＋c＝0$(或$ay^{2}＋by＋c＝0$)．

(1)若$a≠0$，可考虑一元二次方程的判别式$Δ$，有

①$Δ>0$⇔直线与圆锥曲线相交；

②$Δ＝0$⇔直线与圆锥曲线相切；

③$Δ<0$⇔直线与圆锥曲线相离．

(2)若$a＝0，b≠0$，即得到一个一元一次方程，则直线$l$与圆锥曲线$E$相交，且只有一个交点，

①若$E$为双曲线，则直线$l$与双曲线的渐近线的位置关系是平行；

②若$E$为抛物线，则直线$l$与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．

知识点2  直线与圆锥曲线联立与韦达定理的应用

第一步：设直线方程，通常已知斜率，设斜截式，已知点，设点斜式，但是要注意斜率不存在的情况.

第二步：带入圆锥曲线方程，消去一个未知数，得到一个一元二次方程.

第三步：判断跟的判别式大于0.

第四步：设交点坐标，得到方程的根.

第五步：利用韦达定理得到两根之和，两根之积.

第六步：利用分析法，由结论逆推，用两根的和与积表示，解决问题.