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《平面向量的概念及线性运算》知识速查
向量的基本概念
知识点1 向量的相关概念
1.向量:既有大小又有方向的量.向量常用有向线段来表示(类比于物理中的力).
2.零向量:长度为0的向量叫零向量,记作:$\overrightarrow{0}$.
3.单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与$\overrightarrow{AB}$共线的单位向量是$\pm \frac{\overrightarrow{A B}}{|\overrightarrow{A B}|}$).
4.向量的模:向量的大小也就是向量的长度称为向量的模.$\overrightarrow{a}$的模表示为|$\overrightarrow{a}$|;$\overrightarrow{AB}$的模表示为|$\overrightarrow{AB}$|.
知识点2 向量间的关系
1.相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性.
2.平行向量(也叫共线向量):方向相同或相反的非零向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$叫做平行向量,记作$\overrightarrow{a}$//$\overrightarrow{b}$.
规定:零向量和任何向量平行.
注:①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等;
②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线(也就是可以重合),但两条直线平行不包含两条直线重合;
③平行向量无传递性!(因为有$\overrightarrow{0}$);
④三点A、B、C共线⇌$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$共线.
3.相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量.$\overrightarrow{a}$的相反向量记作-$\overrightarrow{a}$.
知识点3 向量的表示方法
1.几何表示:用带箭头的有向线段表示,注意起点在前,终点在后.
2.符号表示:用一个小写的英文字母来表示,如$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$等.
3.坐标表示:在平面内建立直角坐标系,以与$x$轴、$y$轴方向相同的两个单位向量$\overrightarrow{i}$,$\overrightarrow{j}$为基底,则平面内的任一向量$\overrightarrow{a}$可表示为$\overrightarrow{a}$=$x\overrightarrow{i}$+$y\overrightarrow{j}$=($x,y$),称($x,y$)为向量$\overrightarrow{a}$的坐标,$\overrightarrow{a}$=($x,y$)叫做向量$\overrightarrow{a}$的坐标表示.
结论:如果向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.
向量的加法
1.三角形法则:首尾相连.
2.平行四边形法则:共起点.
向量的减法
三角形法则:起点相同,减向量的终点指向被减向量的终点.
向量的数乘
1.数量的数乘:实数$λ与向量\overrightarrow{a}$的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作$λ\overrightarrow{a}$,实质就是向量的伸长与缩短.
2.$λ$对向量的影响
(1)当$λ>0$时, $λ\overrightarrow{a}$的方向与$\overrightarrow{a}$的方向相同;当 $λ<0 $时,$λ\overrightarrow{a}$的方向与$\overrightarrow{a}$的方向相反.
(2)当$|λ|>1$时, $λ\overrightarrow{a}$的长度在伸长;当 $当0<|λ|<0 $时,$λ\overrightarrow{a}$的长度在缩短.
3.运算律
(1)$|λ \overrightarrow{a}$|=$|λ|·|\overrightarrow{a}$|;
(2)$λ(μ\overrightarrow{a}$)=$(λμ)\overrightarrow{a}$;
(3)$(λ+μ)\overrightarrow{a}$=$λ\overrightarrow{a}$+$μ\overrightarrow{a}$;
(4)$λ(\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$)=$λ\overrightarrow{a}$+$λ\overrightarrow{b}$.
4.向量共线定理
(1)向量$\overrightarrow{a}$($\overrightarrow{a}$≠0)与$\overrightarrow{b}$共线,当且仅当有唯一一个实数$λ$使得$\overrightarrow{b} =λ\overrightarrow{a}$ .(即只需要证明两个向量有$λ(λ≠0)$倍数关系,就可以说明两个向量共线或者平行)
(2)在向量的坐标表示中:设 $\overrightarrow{a}=(x_{1},y_{1}),\overrightarrow{b}=(x_{2},y_{2})$.当且仅当$x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}=0$时,向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$共线.(简记“交叉相乘相等”)
平面向量基本定理
知识点1 基底的概念
平面向量基本定理:如果$\overrightarrow{e_1}$、$\overrightarrow{e_2}$是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量$\overrightarrow{a}$,有且只有一对实数$λ_{1}、λ_{2}$,使$\overrightarrow{a}$=$λ_{1}\overrightarrow{e_1}$+$λ_{2}\overrightarrow{e_2}$.不共线的向量$\overrightarrow{e_1}$、$\overrightarrow{e_2}$作为这一平面内所有向量的一组基底.(注:作为基底的两个向量一定不能共线)
知识点2 向量的夹角
1.夹角的定义:不共线的两个向量有不同方向,它们的位置关系可以用夹角来表示.
已知两个非零向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$,作$\overrightarrow{0A}$=$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{0B}$=$\overrightarrow{b}$,则$∠AOB=θ$$(0°≤θ≤180°)$叫做向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角.(注:向量夹角是在两个向量起点重合的时候观察到的)
2.当$θ=0°$:$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$同向;当$θ=180°$时,$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$反向.
3.当$θ=90°$:则两个向量垂直,记作:$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$.