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《函数及其表示》知识速查
函数概念的三要素
知识点1 函数的相关概念
函数:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系$f$,使对于集合A中的任意一个数$x$,在集合B中都有唯一确定的数$f(x)$和它对应,那么就称$f:A→B$为从集合A到集合B的一个函数.记作:$ y=f(x),x∈A.$
知识点2定义域的概念
函数定义中,$x$叫做自变量,$x$的取值范围A叫做函数的定义域.
知识点3值域的概念
与$x$的值相对应的$y$值叫做函数值,函数值的集合{${f(x)| x∈A}$}叫做函数的值域.
知识点4函数的三要素
三要素:定义域、值域、对应法则
(1)对于定义域中的任意的$x$值,在对应法则“$f$”的作用下,即可得到值域中唯一的$y$值.
(2)定义域、对应法则决定值域.
(3)判断函数是否相同,需要判断定义域(以化简前的函数定义域为准)和对应法则(和字母无关)是否一样.
定义域和值域的求法
知识点1 定义域求法
求函数的定义域时列不等式组的主要依据有:
1.整式函数或奇次根式函数,定义域为R.
2.分式的分母不等于零.
3.偶次方根的被开方数不小于零.
4.如果函数是由一些基本函数通过数学式子结合而成的.那么它的定义域是使各部分都有意义的$x$的值组成集合的交集.
5.指数函数的底数和对数函数的真数$a>0且a≠1.$
6.函数$y=tanx$的定义域是$\left\{x \mid x \neq k \pi+\frac{\pi}{2},(k \in Z)\right\}$.
7.实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
8.在求抽象函数定义域的关键在于:①同一函数括号内的范围一致;②定义域是$x$的范围.
知识点2 值域求法
求函数的值域时的常用的主要方法有:(优先考虑定义域)
1.观察法:对于一些简单的函数,直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域.
2.配方法:针对二次函数的类型,根据二次函数图像的性质来确定函数的值域,注意定义域的范围.
3.换元法:作变量代换,针对根式或者三角函数模型的函数,转化成二次函数的类型.
(换元的时候注意要考虑范围问题)
4.分离法:对于部分分式型函数,用分母表示出分子,分离常数,使分子不含自变量,再借助基本函数的值域求解.
映射
1.映射:一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系$f$,使对于集合A中的任意一个元素$x$,在集合B中都有唯一确定的元素$y$与之对应,那么就称对应$f$:A→B为从集合A到集合B的一个映射.
2.对于映射f:A→B来说,应满足:
(1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的.
(2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个.
(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.
注意:映射是针对自然界中的所有事物而言的,而函数仅仅是针对数字来说的,所以函数是映射,而映射不一定的函数.
区间的表示
常用区间写法:
(1){$x|x>a$} =$(a,+∞)$;
{$x|x≥a$} = $[a,+∞).$
(2){$x|x<a$} =$(-∞,a)$;
{$x|x≤a$} =$(-∞,a].$
(3){$x|a<x<b$}=$(a,b)$;
{$x|a≤x<b$}=$ [a,b)$;
{$x|a<x≤b$}=$(a,b]$.
(4){$x|x≠a$}=$(-∞,a)∪(a,+∞)$.
(5)$(-∞,+∞)= R$.
函数解析式求法
1.代入法:已知$f(x)$,求$f[g(x)]$的解析式,方法是将$g(x)$代替$f(x)$中的$x$,把$g(x)$当成整体来代入.
2.待定系数法:已知$f(x)$的函数类型,要求$f(x)$的解析式时,可根据类型设解析式,从而确定其系数.
3.配凑法:已知$f[g(x)]$的解析式,要求$f(x)$时,可从$f[g(x)]$的解析式中拼凑出$g(x)$,即用$g(x)$来表示,再用$x$代替即可.
4.换元法:适用于已知$f[g(x)]$的表达式的情况.
令$g(x)=t$,并反解出$x$,然后把$x$代入$f[g(x)]$中,求出$f(t)$,最后在用一次$x$替换$t$.从而求出$f(x)$.
5.方程组法:已知$f(x)与f[g(x)]$满足的关系式,要求$f(x)$时,可用$g(x)$代替两边所有的$x$,得到关于$f(x)与f[g(x)]$的方程组,解之即可求出$f(x)$.
6.特殊值法:通过某些特殊值化代入题设中的等式,可使问题具体化、简单化,从中找到规律,解决问题.
7.图像法:根据图像求解析式.
注:以上方法求函数解析式时一定要考虑并确定自变量$x$的取值范围,所求函数式注明定义域.