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《函数增减性》知识速查
函数单调性的概念
知识点1 增函数
定义:设函数$y=f(x)$的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量$x_{1}$,$x_{2}$,当$x_{1}$<$x_{2}$时,都有$f$($x_{1}$)<$f$($x_{2}$),那么就说$f(x)$在区间D上是增函数.区间D称为$y=f(x)$的单调增区间.
知识点2 减函数
定义:设函数$y=f(x)$的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量$x_{1}$,$x_{2}$,当$x_{1}$<$x_{2}$时,都有$f$($x_{1}$)>$f$($x_{2}$),那么就说$f(x)$在区间D上是减函数.区间D称为$y=f(x)$的单调减区间.
函数单调性的判断方法
1.定义法:
(1)任取$x_{1}$,$x_{2}$$∈D$,且$x_{1}$<$x_{2}$;
(2)作差$f$($x_{1}$)-$f$($x_{2}$);
(3)变形(通常是因式分解和配方);
(4)定号(即判断$f$($x_{1}$)-$f$($x_{2}$)的正负);
(5)下结论(指出函数$f(x)$在给定的区间D上的单调性).
2.图象法:从左往右看,图像上升则为增函数,图像下降则为减函数.
3.复合函数:复合函数:如果 $y=f[g(x)](x∈A)$,称为复合函数,复合函数$f[g(x)]$的单调性与内外层函数的单调性有关,其规律为“同增异减”.即内层函数和外层函数增减性相同,则复合函数为增函数;内层函数和外层函数增减性相反,则复合函数为减函数.
4.观察法:对函数进行变形有些会改变单调性,有些则不会,常见的变化有:
(1)$k·f(x):若k>0,$则$f(x)$单调性不变;若$k<0,则f(x)$单调性与原来相反.
(2)$\sqrt{f(x)}$:在定义域内,根号不影响函数的单调性.
(3)$\frac{1}{\mathrm{f}(x)}$:在定义域内函数取倒数,会改变函数单调性.
5.函数的加减法:增函数+增函数=增函数;减函数+减函数=减函数,增函数-减函数=增函数(-减函数实质为增函数).
注:类似增函数×增函数,函数乘法是不能用此方法判断增减性的.
6.导数法:设函数$y=f(x)$在某个区间内可导,如果$f^{\prime}(x)>0$,$则y=f(x)$为增函数;若$f^{\prime}(x)<0$,则$y=f(x)$为减函数.