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《不等式选讲》知识速查
不等式的证明
1.比较法
(1)作差法:欲证$A>B$,只需要证$A-B>0$.
步骤:作差→变形→判断符号.
(2)作商法:欲证$A>B(B>0)$,只需要证$\frac{A}{B}$>1.
欲证$A>B(A<0)$,只需要证$\frac{A}{B}$<1.
步骤:作差→变形→判断商与1的大小.
适用范围:两端式子为乘积或幂、指数形式.
(3)求平方差法
2.综合法
(1)定义:从已知出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后退出要证的不等式.
(2)特点:由因导果.
3.分析法
(1)定义:从需证的不等式出发,寻找这个不等式成立的充分条件,逐步转化到已知条件或明显事实.
(2)证明思路:从未知,看需知,逐步靠已知.即”执果索因”.
(3)用分析法证题一定要注意书写格式,并保证步步可逆.
4.反证法
有些不等式无法利用用题设的已知条件直接证明,可以用反证法去证明, 即通过否定原结论,导出矛盾从而达到肯定原结论的目的.
5.放缩法
在证明不等式的时候,在直接证明遇到困难的时候,可以利用不等式的传递性,把要证明的.
不等式加强为一个易证的不等式,即欲证$A>B$,我们可以适当的找一个中间量$C$作为媒介,证明$A>C且C>B$,从而得到$A>B$.我们把这种把$B$放大到$C$(或把$A$缩小到$C$)的方法称为放缩法.放缩是一种重要的变形手段,但是放缩的对象以及放缩的尺度不易掌握,技巧性较强,这关系到证明的成败,往往需要根据具体的题目经过多次的探索和试验才能成功,因此必须多练.
绝对值不等式
1.绝对值化简
$|x|=\left\{\begin{array}{ll}x(x≥0) \\ -x(x<0)\end{array}\right.$
2.绝对值不等式化简
(1)$a>0$时,$|x|>a ⇌x<-a或x>a$;
(2)$a>0$时,$|x|<a ⇌-a<x<a.$
3.绝对值三角不等式定理:$||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|$.
4.含有两个(或两个以上)绝对值的不等式的解法:
方法:找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集,最后取各段的并集.
例:化简$|x+1|+|x-2|<4$
步骤1:先令$x+1=0$,$x-2=0;$
步骤2:解得$x=-1,x=2;$
步骤3:分类三类讨论:①$x≤-1$;②$-1<x<2$;③$x≥2$.分别对不等式进行化简再解不等式.(化简绝对值要判断式子$x+1$,$x-2$的正负情况.若是取负值,则取式子的相反数;若式子为正值,则取式子本身)
步骤4:综合三类分类讨论的范围取$x$的并集.
5.如果$a,b,c$是实数,那么:$|a-c|≤|a-b|≤|b+c|$
当且仅当$(a-b)(b-c)≥0$时,等号成立.
6.解含有参数的绝对值不等式,要对参数进行分类.
柯西不等式
知识点1 二维形式的柯西不等式
$(a^{2}+b^{2})·(c^{2}+d^{2})$$\geq(a c+b d)^{2}(a,b,c,d \in R) \cdot$ 当且仅当 $a d=b c$ 时,等号成立.
知识点2 三维形式的柯西不等式
(${a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+{a_{3}}^{2}$)(${b_{1}}^{2}+{b_{2}}^{2}+{b_{3}}^{2}$)≥$(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3})^{2}$.
知识点3 柯西不等式的向量形式
设$α,β$是两个向量,则|$α·β$|≤$|α|·|β|$.
当且仅当$β$是零向量,或存在实数$k$,是的$α=kβ$时,等号成立.
知识点4 柯西不等式的一般形式
$\left({a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+\ldots+{a_{n}}^{2}\right)\left({b_{1}}^{2}+{b_{2}}^{2}+\ldots+{b_{n}}^{2}\right) $$\geq\left(a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+\ldots+a_{n} b_{n}\right)^{2}$.
排序不等式
$设a_{1} \leq a_{2} \leq \ldots \leq a_{n},b_{1} \leq b_{2} \leq $ $\ldots \leq b_{n}$ 为 两组实数. $c_{1},c_{2},\ldots,c_{n}$ 是$b_{1},b_{2},\ldots,b_{n} 的任一排列,则$$a_{1} b_{n}+a_{2} b_{n-1}+\ldots+a_{n} b_{1} $ $\leq a_{1} c_{1}+a_{2} c_{2}+\ldots+a_{n} c_{n} $ $\leq a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+\ldots+a_{n} b_{n} \cdot$
( 反序和≤乱序和≤顺序和),
当且仅当 $a_{1}=a_{2}=\ldots=a_{n}或b_{1}=b_{2}$=$\ldots=b_{n}$ 时,反序和等于顺序和.