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《抛物线的简单性质》知识速查
抛物线的焦点弦问题
知识点1抛物线的焦半径问题
(1)抛物线$y^{2}=2px$($y^{2}=-2px$)上一点$P$($x_{0},y_{0}$)到焦点$F$($\frac{p}{2}$,0)的距离焦半径$|PF|$=$|x_{0}|+\frac{p}{2}$ .
(2)抛物线$x^{2}=2py$($x^{2}=-2py$)上一点$P$($x_{0},y_{0}$)到焦点$F$(0,$\frac{p}{2}$)的距离焦半径$|PF|$=$|y_{0}|+\frac{p}{2}$ .
知识点2 抛物线的焦点弦问题
设$AB$是过抛物线焦点$F$的弦,若$A$($x_{1},y_{1}$),$B$($x_{2},y_{2}$),则
(1)$x_{1}·x_{2}$ =$\frac{p^{2}}{4}$,$y_{1}·y_{2}$ =$-p^{2}$.
(2)通径:过焦点垂直于对称轴的弦,长等于$2p$,通径是过焦点最短的弦.
(3)以弦$AB$为直径的圆与准线相切.
(4)当抛物线为$y^{2}=2px$($p>0$)时,弦长$|AB|=x_{1}+x_{2}+p$=$\frac{2p}{sin^{2}α}$($α$为弦AB所在直线的倾斜角).
(5)当抛物线为$x^{2}=2py$($p>0$)时,弦长$|AB|=y_{1}+y_{2}+p$=$\frac{2p}{cos^{2}α}$($α$为弦AB所在直线的倾斜角).
抛物线中的最值问题
与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径.
例:当抛物线焦点在$x$轴正半轴上时,由抛物线的定义知点$P$到直线$x=-\frac{p}{2}$的距离等于点$P$到$F$的距离.于是,问题转化为在抛物线上求一点$P$,使点$P$到点$A$的距离与点$P$到$F$($\frac{p}{2},0$)的距离之和最小,显然,连接$AF$与抛物线相交的点即为满足题意的点.
抛物线的切线方程
1.抛物线$y^{2}=2px$上一点$P$($x_{0},y_{0}$)处的切线方程是$y_{0}·y = p(x+x_{0})$.
2.过抛物线$y^{2}=2px$外一点$P$($x_{0},y_{0}$)所引两条切线的切点弦方程是$y_{0}·y = p(x+x_{0})$.
3.抛物线$y^{2}=2px$与直线$Ax+By+C=0$相切的条件是$pB^{2}=2AC$.