《等比数列》知识速查

等比数列基础

1.定义：如果数列{$a_n$}从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫等比数列的公比.即$\frac{a_n}{a_{n-1}}=q$,$（n∈N^{*}$，且$n≥2$）或者$\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$.$（n∈N^{*} ）$

2.等比中项：如果$a、G、b$三个数成等比数列，那么$G$叫做$a与b$的等比中项，即$G^{2}=ab$.

3.等比的通项公式：$a_{n}=a_{1}q^{n-1}$. 

4.等比的前$n$项和$S_{n}$

当$q=1$时，$S_{n}=na_{1};当q≠1$时，$S_{n}=\frac{a_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}=\frac{a_{1}-a_{n} q}{1-q}$.

等比数列的性质

知识点1 通项性质

1.$a_{n}=a_{m}q^{n-m}$,$（n>m,n∈N^{*},m∈N^{*}）$

2.若$m+n=p+q$，$则a_{m}·a_{n}=a_{p}·a_{q}$，特别地，当$m+n=2p$时，则有$a_{m}·a_{n}={a_{p}}^{2}$.（注意区分与等差数列）

3.（1）当$q>1$时，

$\left\{\begin{array}{ll}a_{1}>0,\text {则}\left\{a_{n}\right\} \text {为递增数列} \\ a_{1}<0,\text {则}\left\{a_{n}\right\}\text {为递减数列}\end{array}\right.$

（2）当$0<q<1$时，

$\left\{\begin{array}{ll}a_{1}>0,\text {则}\left\{a_{n}\right\} \text {为递减数列} \\ a_{1}<0,\text {则}\left\{a_{n}\right\} \text {为递增数列}\end{array}\right.$

（3）当$q=1$时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列）.

（4）当$q<0$时,该数列为摆动数.此时奇数项符号相同；偶数项符号相同；奇偶项符号相反.（可用于排除答案）

知识点2 前$n$项和性质

1.数列$\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 为等比数列，则数列 $\left\{\frac{k}{a_{n}}\right\}$,$\left\{k \cdot a_{n}\right\}$,$\left\{{a_{n}}^{k}\right\}$,$\left\{k \cdot a_{n} \cdot b_{n}\right\}$,$\left\{\frac{a_{n}}{b_{n}}\right\}$ ( $k$为非零常数）均为等比数列.

2.数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列， 每隔 $k\left(k \in N^{*}\right)$ 项取出一项 $\left(a_{m},a_{m+k},a_{m+2 k},a_{m+3 k},\cdots\right)$ 仍为等比数列.

3.如果{$a_{n}$}是各项均为正数的等比数列，则数列{$log_{a}a_{n}$}是等差数列.

4.若{$a_{n}$}为等比数列，则数列$S_{n}$，$S_{2n}-S_{n}$，$S_{3n}-S_{2n}$，···成等比数列，公比为$q^{n}$.

5.在等比数列{$a_{n}$}中，当项数为偶数$2n$时，$S_{偶}=S_{奇}$；项数为奇数$2n-1$时，$S_{奇}=a_{1}+qS_{偶}$.

等比数列的证明

1.用定义：对任意的$n$，都有${a_{n+1}}$= ${qa_{n}}$ 或$\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$ .（$q为常数，{a_{n}}≠0$）⇌{$a_{n}$}为等比数列.

2.等比中项：${ {a_{n}}^2}$=${a_{n+1}}$${a_{n-1}}$（${a_{n+1}}$${a_{n-1}}≠0$）⇌{$a_{n}$}为等比数列.

3.通项公式：${a_{n}}$=$A·q^{n}$（$A≠0,q≠0$）⇌{$a_{n}$}为等比数列.（只能用于选择填空判断）

4.前n项法：${S_{n}}=A·q^{n}+B（A≠0,q≠0）$⇌{${a_{n}}$}为等比数列.（只能用于选择填空判断）