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《夹角公式》知识速查
平面的法向量
平面的法向量可利用方程组求出:设向量$\overrightarrow{a}$=($a_{1},a_{2},a_{3}$),向量$\overrightarrow{b}$=($b_{1},b_{2},b_{3}$)是平面$α$内两不共线向量,$\overrightarrow{n}$=($n_{1},n_{2},n_{3}$)为平面α的法向量,则求法向量$\overrightarrow{n}$的方程组为:
$\overrightarrow{n}$·$\overrightarrow{a}$ =0,$\overrightarrow{n}$·$\overrightarrow{b}$ =0,然后令$n_{1},n_{2},n_{3}$中的一个值,求出其余两个值.
空间向量的夹角
设$\overrightarrow{a}$=($a_{1},a_{2},a_{3}$),$\overrightarrow{b}$=($b_{1},b_{2},b_{3}$),则:
$cos<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>=\frac{a_{1} ·b_{1}+a_{2}· b_{2}+a_{3}· b_{3}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}·\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}$,
$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$所成的角$θ$的范围:[0,180°].
两直线夹角公式
设$\overrightarrow{a}$=($a_{1},a_{2},a_{3}$),$\overrightarrow{b}$=($b_{1},b_{2},b_{3}$)分别是两直线$l_{1}$,$l_{2}$的方向向量,则
$cos θ$=$\frac{a_{1}· b_{1}+a_{2}· b_{2}+a_{3}· b_{3}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}} ·\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}$
$l_{1}$与$l_{2}$所成的角$θ$的范围:[0,90°].
直线与平面的夹角
设直线$l$的方向向量为$\overrightarrow{a}$=($a_{1},a_{2},a_{3}$),平面$α$的法向量为$\overrightarrow{n}$=($b_{1},b_{2},b_{3}$),直线$l$与平面$α$所成的角为$θ$,$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{n}$的夹角为$β$,则$sin θ$=|$cos β$|
=$\frac{|\overrightarrow{a}·\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{a}|·|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|a_{1}· b_{1}+a_{2}· b_{2}+a_{3}·b_{3}|}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}·\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}$ ,$θ$的范围[$0,90°$].
二面角的计算
1.设直线平面$α$的法向量为$\overrightarrow{n_{1}}$=($a_{1},a_{2},a_{3}$),平面$β$的法向量为$\overrightarrow{n_{2}}=$($b_{1},b_{2},b_{3}$),两法向量所成的角为$θ$,则$cos θ$=$\frac{\overrightarrow{n_{1}}·\overrightarrow{n_{2}}}{|\overrightarrow{n_{1}}|·|\overrightarrow{n_{2}}|}=\frac{a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}} \sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}$ .
求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角.
二面角的大小与法向量$\overrightarrow{n_{1}}$ 、$\overrightarrow{n_{2}}$夹角相等或互补.通过观察题目中的二面角可确定二面角的大小,判断出二面角和法向量的夹角是相等还是互补.
2.二面角范围:[$0,180°$]