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《定积分》知识速查
定积分的概念
知识点1 定积分的概念
设区间间 $[a,b]$ 等分成$n$个小区间,在每个小区间 $\left[\mathrm{x}_{i-1},\mathrm{x}_{i}\right]$ 上取任一点 $\xi_{i}(\mathrm{i}=1,2,\cdots$…n)作和式: $$I_{n}=\sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}\right)△x$$(其中△x为小区间长度),把$n→∞即△x→0$时,和式$I_{n}$的极限叫做函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在区间[a,b]上的定积分,记作: $\int_{a}^{b} f(x) d x,$ 即:
$$\int_{a}^{b} f(x) d x=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n}\frac{b-a}{n}f\left(\xi_{i}\right)$$
这里,$a与b$分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,函
数$f(x)$叫做被积函数,$x$叫做积分变量,$f(x)dx$ 叫做被积式.
知识点2 定积分的性质
$1.\int_{a}^{b}kf(x)dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx$($k$为常数 $)$
$2.\int_{a}^{b}f(x)\pm g(x)dx=\int_{a}^{b} f(x)dx\pm \int_{a}^{b}g(x)dx$
$3.\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{c} f(x) d x+\int_{c}^{b} f(x)dx.$ 其中($a<c<b$).
知识点3 定积分求曲边梯形面积
1.由三条直线$x=a,x=b(a<b )$,$x$轴及一条曲线$y=f(x)(f(x)≥0)$围成的曲边梯的面积 $S=\int_{a}^{b} f(x)dx$.
$2.如果图形由曲线 \mathrm{y}_{1}=\mathrm{f}_{1}(\mathrm{x}),\mathrm{y}_{2}=\mathrm{f}_{2}(\mathrm{x})\left(\right.$ 不妨设 $\left.\mathrm{f}_{1}(\mathrm{x}) \geqslant \mathrm{f}_{2}(\mathrm{x}) \geqslant 0\right)$ 围成,那么所求图形的面积$S=S_{曲边梯形AMNB}-S_{曲边梯形DMNC}$= $\int_{a}^{b} f_{1}(x) d x-\int_{a}^{b}f_{2}(x)dx$.
微积分基本定理
一般地,如果 $f(x)$ 是区间 $[a,b]$ 上的连续函数,且 $F^{\prime}(x)=f(x),$ 那 么 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=F(b)-F(a),$ 这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿-莱$布尼茨公式.为了方便,常把 F(b)-F(a)$记作:$\left.F(x)\right|_{a} ^{b}$
$即 \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\left.F(x)\right|_{a} ^{b}=F(b)-F(a)$.