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《函数与方程》知识速查
函数零点
知识点1 零点相关概念
1.零点的定义:函数$y=f(x)$的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点.(注:零点不是点是一个$x$的值)
2.几个等价关系
方程$f(x)$=0有实数根⇔函数$y=f(x)$的图像与$x$轴有交点⇔函数$y=f(x)$有零点.
知识点2 零点判定
零点存在性定理:若函数$y=f(x)$在闭区间$[a,b]$上的图像是连续曲线,并且在区间端点的函数值符号相反,即$f(a)·f(b)<0$,则在区间$(a,b)$内,函数$y=f(x)$至少有一个零点,即相应的方程$f(x)=0$在区间$(a,b)$内至少有一个实数解.
注:
(1)$f(a)·f(b)<0$说明在区间$(a,b)$内,函数$y=f(x)$至少有一个零点,而不是一个零点,可参照三次函数来理解.
(2)$f(a)·f(b)>0$,不能说明在区间$(a,b)$内,函数$y=f(x)$没有零点,可参照二次函数来理解,所以零点存在性定理不能逆推.
知识点3 零点的求法
1.代数法:函数零点就是方程$f(x)=0$的实数根.
2.几何法:函数的零点就是$y=f(x)$与$x$轴的交点.
3.二分法:①确定区间$[a,b]$,验证$f(a)·f(b)<0$,给定精确度$ε$;
②求区间$(a,b)的中点c$;
③计算$f(c)$;
$a$.若$f(c)=0$,则$c$就是函数的零点;
$b$.若$f(a)·f(c)<0$,则令$b= c$(此时零点$x_{0}∈(a,c)$);
$c$.若$f(c)·f(b)<0$,则令$a= c$(此时零点$x_{0}∈(c,b)$);
④判断是否达到精确度$ε$:即若$|a-b|<ε$,则得到零点近似值$a(或b)$;否则重复步骤②~④.
二次函数零点的分布
知识点1 根的正负问题
1.方程$f(x)=0$的两个根都大于0需满足:①$b^{2}-4ac≥0$;②$x_{1}+x_{2}>0$;③$x_{1}·x_{2}>0$.
2.方程$f(x)=0$的两个根都小于0需满足:①$b^{2}-4ac≥0$;②$x_{1}+x_{2}<0$;③$x_{1}·x_{2}>0$
3.方程$f(x)=0$的一正一负需满足:$x_{1}·x_{2}<0$.
知识点2 两根与k的大小关系
1.一个根小于$k$,一个根大于$k$需满足:$af(k)<0$.
2.两根都大于$k$需满足:$①b^{2}-4ac≥0$;②$af(k)>0$;③$-\frac{b}{2a}>k$.
3.两根都小于$k$需满足:$①b^{2}-4ac≥0$;②$af(k)>0$;③$-\frac{b}{2a}<k$.
知识点3 两根与区间$(k_{1},k_{2})$的关系
1.两根都$(k_{1},k_{2})$之内需满足:$①b^{2}-4ac>0$;②$af(k_{1})>0$;$③af(k_{2})>0$;④$k_{1}<-\frac{b}{2a}<k_{2}$.
2.两根有且仅有一根在$(k_{1},k_{2})$需满足:$①f(k_{1})·f(k_{2})<0$.(注:$f(k_{1})$=0或者$f(k_{2})$=0的情况)
3.两根都在在$(k_{1},k_{2})$外需满足:①$af(k_{1})<0$;②$af(k_{2})<0$.