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《双曲线的简单性质》知识速查
双曲线的几何性质
1.$\frac{x^{2}}{a^{2}}$-$\frac{y^{2}}{b^{2}}$=1 ($a>0,b>0$).
实轴|$A_{1}A_{2}$|:2$a$;
虚轴|$B_{1}B_{2}$|:2$b$;
焦距|$F_{1}F_{2}$|:2$c$;
离心率$e=\frac{c}{a}∈$(1,$+∞$);
渐近线:$y=±\frac{b}{a}x$.
2.$\frac{y^{2}}{a^{2}}$-$\frac{x^{2}}{b^{2}}$=1 ($a>0,b>0$).
实轴|$A_{1}A_{2}$|:2$a$;
虚轴|$B_{1}B_{2}$|:2$b$;
焦距|$F_{1}F_{2}$|:2$c$;
离心率$e=\frac{c}{a}∈$(1,$+∞$);
渐近线:$y=±\frac{a}{b}x$.
3.通径:过焦点作椭圆实轴的垂线与椭圆形成的相交弦$L = \frac{2b^{2}}{a}$.
4.双曲线焦点到渐近线的距离:$b$.
双曲线的焦点三角形
双曲线上任意一点与两焦点组成的三角形为焦点三角形,$α$为焦点三角形的顶角,$S$为焦点三角形面积.
1.焦点三角形面积:$S=b^{2}cot^{2}\frac{α}{2}$=$\frac{b^{2}}{tan^{2}\frac{α}{2}}$.
2.焦点三角形内切圆半径 $r$=$\frac{2S}{C}$.($C$为三角形周长)
3.焦点三角形外接圆半径 $r$= $\frac{sinα}{c}$.
双曲线的第二定义
1.定义:平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数$e=\frac{c}{a}$($e>1$)的动点$M$的的轨迹叫做双曲线,定点为双曲线的一个焦点,定直线为双曲线的准线,常数$e$是双曲线的离心率.
2.准线
(1)$\frac{x^{2}}{a^{2}}$-$\frac{y^{2}}{b^{2}}$=1 ($a>0$,$b>0$)对应于右焦点$F_{2}(c,0)$的准线称为右准线,方程是$x=\frac{a^{2}}{c}$;对应于左焦点$F_{1}(-c,0)$的准线称为称为左准线,方程是$x=-\frac{a^{2}}{c}$.
(2)$\frac{y^{2}}{a^{2}}$-$\frac{x^{2}}{b^{2}}$=1 ($a>0$,$b>0$)对应于上焦点$F_{2}(0,c)$的准线称为上准线,方程是$y=\frac{a^{2}}{c}$;对应于下焦点$F_{1}(0,-c)$的准线称为称为下准线,方程是$y=-\frac{a^{2}}{c}$.
3.离心率$e$的几何意义:双曲线上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比.