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《椭圆的简单性质》知识速查
椭圆的几何性质
1.$\frac{x^{2}}{a^{2}}$+$\frac{y^{2}}{b^{2}}$=1($a>b>0$)
长轴$A_{1}A_{2}$的长为$2a$
短轴$B_{1}B_{2}$的长为$2b$
焦距|$F_{1}F_{2}$|=$2c$
离心率$e=\frac{c}{a}$
2.$\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$
长轴$A_{1}A_{2}$的长为$2a$
短轴$B_{1}B_{2}$的长为$2b$
焦距|$F_{1}F_{2}$|=$2c$
离心率$e=\frac{c}{a}$
椭圆的第二定义
1.定义:平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数$e$ = $\frac{c}{a}$的动点M的轨迹叫做椭圆,定点为椭圆的一个焦点,定直线为椭圆的准线,常数$e$是椭圆的离心率.
2.准线:(1)$\frac{x^{2}}{a^{2}}$+$\frac{y^{2}}{b^{2}}$=1 ($a>b>0$)对应于右焦点$F_{2}$($c,0$)的准线称为右准线,方程是:$x$=$\frac{a^{2}}{c}$;对应于左焦点$F_{2}$($-c$,0)的准线称为左准线,方程是:$x$= -$\frac{a^{2}}{c}$.
(2)$\frac{y^{2}}{a^{2}}$+$\frac{x^{2}}{b^{2}}$=1 ($a>b>0$)对应的两条准线为:$y$= $±\frac{a^{2}}{c}$.
3.离心率$e$的几何意义:椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比.
椭圆的焦半径
1.定义:椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径.
2.对于椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}$+$\frac{y^{2}}{b^{2}}$=1($a>b>0$),$F_{1}$为左焦点,$F_{2}$为右焦点.设
$P$($x_{0},y_{0}$)为椭圆上的一点,则:
|$PF_{1}$| =$a + ex_{0}$;
|$PF_{2}$| =$a - ex_{0}$($e$为椭圆离心率).
3.对于椭圆$\frac{y^{2}}{a^{2}}$+$\frac{x^{2}}{b^{2}}$=1($a>b>0$),$F_{1}$为下焦点,$F_{2}$为上焦点,设$P$($x_{0},y_{0}$)为椭圆上的一点,则:
|$PF_{1}$| =$a + ey_{0}$;
|$PF_{2}$| =$a - ey_{0}$($e$为椭圆离心率).
椭圆的焦点三角形
椭圆上任意一点与两焦点组成的三角形为焦点三角形,设$α$为焦点三角形的顶角,$S$为焦点三角形面积,$C$为周长.
1.焦点三角形周长: $C$ = $2a + 2c$.
2.焦点三角形面积:$S$ = $b^{2}tan\frac{α}{2}$.
3.焦点三角形面积范围:($0,cb$].
4.焦点三角形内切圆半径$r$ = $\frac{S}{a+c}$.
5.焦点三角形外接圆半径$r$ = $\frac{sinα}{c}$.