已知长方形的面积为4,一条边长为x,另一边长为y,则用x表示y的函数解析式为y=.
题目答案
您的答案
答案解析
分析:
根据长方形的面积=长×宽,可得另一边的长=面积÷一条边的长,依此可列出关系式.
解答:
解:∵长方形的面积为4,一条边长为x,另一边长为y,
∴xy=4,
∴用x表示y的函数解析式为y=$\frac {4}{x}$.
故答案为:y=$\frac {4}{x}$.
点评:
本题考查了反比例函数在实际生活中的应用,找出等量关系是解决此题的关键.
已知长方形的面积为4,一条边长为x,另一边长为y,则用x表示y的函数解析式为y=.
分析:
根据长方形的面积=长×宽,可得另一边的长=面积÷一条边的长,依此可列出关系式.
解答:
解:∵长方形的面积为4,一条边长为x,另一边长为y,
∴xy=4,
∴用x表示y的函数解析式为y=$\frac {4}{x}$.
故答案为:y=$\frac {4}{x}$.
点评:
本题考查了反比例函数在实际生活中的应用,找出等量关系是解决此题的关键.
如图,一次函数y=kx+5(k为常数,且k≠0)的图象与反比例函数y=-$\frac {8}{x}$的函数交于A(-2,b),B两点.若将直线AB向下平移m(m>0)个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点,则m=或.(按从小到大顺序填写答案)
分析:
先利用反比例函数解析式y=-$\frac {8}{x}$求出b=4,得到A点坐标为(-2,4),然后把A点坐标代入y=kx+5中求出k,从而得到一次函数解析式为y=$\frac {1}{2}$x+5;
由于将直线AB向下平移m(m>0)个单位长度得直线解析式为y=$\frac {1}{2}$x+5-m,则直线y=$\frac {1}{2}$x+5-m与反比例函数有且只有一个公共点,即方程组$\left\{\begin{matrix}y=-$\frac {8}{x}$ \ y=$\frac {1}{2}$x+5-m \ \end{matrix}\right.$只有一组解,
然后消去y得到关于x的一元二次函数,再根据判别式的意义得到关于m的方程,最后解方程求出m的值.
解答:
解:把A(-2,b)代入y=-$\frac {8}{x}$得b=-$\frac {8}{-2}$=4,
所以A点坐标为(-2,4),
把A(-2,4)代入y=kx+5得-2k+5=4,解得k=$\frac {1}{2}$,
所以一次函数解析式为y=$\frac {1}{2}$x+5;
将直线AB向下平移m(m>0)个单位长度得直线解析式为y=$\frac {1}{2}$x+5-m,
根据题意方程组$\left\{\begin{matrix}y=-$\frac {8}{x}$ \ y=$\frac {1}{2}$x+5-m \ \end{matrix}\right.$只有一组解,
消去y得-$\frac {8}{x}$=$\frac {1}{2}$x+5-m,
整理得$\frac {1}{2}$x-(m-5)x+8=0,
△=(m-5)_-4×$\frac {1}{2}$×8=0,解得m=9或m=1,
即m的值为1或9.
点评:
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题:求反比例函数与一次函数的交点坐标,把两个函数关系式联立成方程组求解,若方程组有解则两者有交点,方程组无解,则两者无交点.也考查了一次函数与几何变换.
已知正比例函数y=-4x与反比例函数$\frac {k}{x}$的图象交于A、B两点,若点A的坐标为(x,4),则点B的坐标为(,).
分析:
首先求出A点坐标,进而将两函数联立得出B点坐标即可.
解答:
解:∵正比例函数y=-4x与反比例函数$\frac {k}{x}$的图象交于A、B两点,点A的坐标为(x,4),
∴4=-4x,
解得:x=-1,
∴xy=k=-4,
∴y=$\frac {-4}{x}$,
则-$\frac {4}{x}$=-4x,
解得:x$_1$=1,x$_2$=-1,
当x=1时,y=-4,
∴点B的坐标为:(1,-4).
故答案为:(1,-4).
点评:
此题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题,根据已知得出A点坐标是解题关键.
在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=$\frac {1}{3}$x+2与反比例函数y=$\frac {5}{x}$(x>0)的图象交点的横坐标为x_0.若k<x_0<k+1,则整数k的值是.
分析:
联立两函数解析式,求出交点横坐标x_0,代入k<x_0<k+1中,估算即可确定出k的值.
解答:
解:联立两函数解析式得:$\left\{\begin{matrix}y=$\frac {1}{3}$x+2 \ y=$\frac {5}{x}$ \ \end{matrix}\right.$,
消去y得:$\frac {1}{3}$x+2=$\frac {5}{x}$,即x+6x=15,
配方得:x+6x+9=24,即(x+3)_=24,
解得:x=2$\sqrt {6}$-3或-2$\sqrt {6}$-3(舍去),
∴一次函数与反比例函数图象交点的横坐标为x_0=2$\sqrt {6}$-3,
即k<2$\sqrt {6}$-3<k+1,
则整数k=1.
故答案为:1
点评:
此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题,确定出两函数交点横坐标是解本题的关键.
若一次函数y=kx+1的图象与反比例函数y=$\frac {1}{x}$的图象没有公共点,则实数k的取值范围是k<.
分析:
因为反比例函数y=$\frac {1}{x}$的图象在第一、三象限,故一次函数y=kx+b中,k<0,解方程组$\left\{\begin{matrix}y=kx+b \ y=$\frac {1}{x}$ \ \end{matrix}\right.$求出当直线与双曲线只有一个交点时,k的值,再确定无公共点时k的取值范围.
解答:
解:由反比例函数的性质可知,y=$\frac {1}{x}$的图象在第一、三象限,
∴当一次函数y=kx+1与反比例函数图象无交点时,k<0,
解方程组$\left\{\begin{matrix}y=kx+1 \ y=$\frac {1}{x}$ \ \end{matrix}\right.$,
得kx+x-1=0,
当两函数图象没有公共点时,△<0,即1+4k<0,
解得k<-$\frac {1}{4}$,
∴两函数图象无公共点时,k<-$\frac {1}{4}$.
故答案为:k<-$\frac {1}{4}$.
点评:
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题.关键是根据形数结合,判断无交点时,图象的位置与系数的关系,找出只有一个交点时k的值,再确定k的取值范围.
如图,已知函数y=$\frac {6}{x}$(x>0)的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A(1,m),B(n,2)两点.则一次函数的解析式为y=.
分析:
将点A(1,m),B(n,2)代入反比例函数的解析式,求得m、n的值,然后将其代入一次函数解析式,即用待定系数法求一次函数解析式.
解答:
解:∵点A(1,m),B(n,2)在反比例函数的图象上,
∴$\left\{\begin{matrix}m=$\frac {6}{1}$ \ 2=$\frac {6}{n}$ \ \end{matrix}\right.$,
解得,$\left\{\begin{matrix}m=6 \ n=3 \ \end{matrix}\right.$;
∴一次函数y=kx+b的图象交于点A(1,6),B(3,2)两点.
∴$\left\{\begin{matrix}6=k+b \ 2=3k+b \ \end{matrix}\right.$,
解得,$\left\{\begin{matrix}k=-2 \ b=8 \ \end{matrix}\right.$,
∴一次函数的解析式是y=-2x+8.
点评:
本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题.用待定系数法确定函数的解析式,是常用的一种解题方法.同学们要熟练掌握这种方法.
若一次函数y=2x-b和反比例函数y=$\frac {b+2}{x}$的图象有两个交点,且其中一个交点的横坐标为3,另一个交点的坐标为(,).
分析:
把x=3代入解析式,组成方程组,即可求出纵坐标和b的值.
解答:
解:把x=3代入一次函数y=2x-b和反比例函数y=$\frac {b+2}{x}$得,
$\left\{\begin{matrix}6-b=y① \ $\frac {b+2}{3}$=y② \ \end{matrix}\right.$,
①-②得,6-b-$\frac {b+2}{3}$=0,
解得b=4,
将b=4代入①得y=2,
于是一次函数解析式为y=2x-4,
反比例函数解析式为y=$\frac {6}{x}$,
将y=2x-4和y=$\frac {6}{x}$组成方程组得$\left\{\begin{matrix}y=2x-4 \ y=$\frac {6}{x}$ \ \end{matrix}\right.$,
解得$\left\{\begin{matrix}x=-1 \ y=-6 \ \end{matrix}\right.$,$\left\{\begin{matrix}x=3 \ y=2 \ \end{matrix}\right.$.
所以交点的坐标为(-1,-6),(3,2).
故答案为:(-1,-6).
点评:
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,要明确,方程组的解就是组成方程组的两个函数图象的交点坐标.
已知:如图,反比例函数y=$\frac {k}{x}$的图象与一次函数y=x+b的图象交于点A(1,4)、点B(-4,n).则△OAB的面积=.
分析:
把A的坐标代入反比例函数解析式求出A的坐标,把A的坐标代入一次函数解析式求出即可;
(求出直线AB与y轴的交点C的坐标,分别求出△ACO和△BOC的面积,然后相加即可.
解答:
把A点(1,4)分别代入反比例函数y=$\frac {k}{x}$,一次函数y=x+b,得k=1×4,1+b=4,
解得k=4,b=3,
∴反比例函数的解析式是y=$\frac {4}{x}$,一次函数解析式是y=x+3;
如图,设直线y=x+3与y轴的交点为C,
当x=-4时,y=-1,
∴B(-4,-1),
当x=0时,y=+3,
∴C(0,3),
∴S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC=$\frac {1}{2}$$\frac {1}{2}$×3×1=$\frac {15}{2}$.
点评:
本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题,用待定系数法求出一次函数的解析式,三角形的面积,一次函数的图象等知识点,题目具有一定的代表性,是一道比较好的题目,用了数形结合思想.
如图,已知A (4,a),B (-2,-4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=$\frac {m}{x}$的图象的交点.则△AOB的面积=.
分析:
A (4,a),B (-2,-4)两点在反比例函数y=$\frac {m}{x}$的图象上,则由m=xy,得4a=(-2)×(-4)=m,可求a、m的值,再将A、B两点坐标代入y=kx+b中求k、b的值即可;设直线AB交y轴于C点,由直线AB的解析式求C点坐标,根据S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC求面积.
解答:
解:将A (4,a),B (-2,-4)两点坐标代入y=$\frac {m}{x}$中,
得4a=(-2)×(-4)=m,
解得a=2,m=8,
将A(4,2),B(-2,-4)代入y=kx+b中,得$\left\{\begin{matrix}4k+b=2 \ -2k+b=-4 \ \end{matrix}\right.$,
解得$\left\{\begin{matrix}k=1 \ b=-2 \ \end{matrix}\right.$,
∴反比例函数解析式为y=$\frac {8}{x}$,一次函数的解祈式为y=x-2;
设直线AB交y轴于C点,
由直线AB的解析式y=x-2得C(0,-2),
∴S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC=$\frac {1}{2}$×2×4+$\frac {1}{2}$×2×2=6.
点评:
本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式.运用数形结合的方法求图形的面积,做此类题要根据图形的特点,将所求三角形的面积问题划分为两个三角形求解.
如图,已知一次函数y$_1$=kx+b的图象与反比例函数y$_2$=$\frac {a}{x}$的图象交于A(2,4)和B(-4,m)两点.则△AOB的面积=.
分析:
此小题可以采用待定系数法直接将点的坐标代入求得两函数的解析式;求三角形的面积或割或补,此题采用割比法较为容易.
解答:
解:∵点A(2,4)在反比例函数y$_2$=$\frac {a}{x}$的图象,
∴a=2×4=8.
∴y$_2$=$\frac {8}{x}$.(1分)
当x=-4时,m=$\frac {8}{-4}$=-2.
∴B点坐标为(-4,-2).
∵直线y$_1$=kx+b经过A(2,4)和B(-4,m),
∴$\left\{\begin{matrix}2k+b=4 \ -4k+b=-2 \ \end{matrix}\right.$.
解得:k=1,b=2.
∴y$_1$=x+2;
设直线y$_1$=x+2与x轴交点为C.
则x+2=0,x=-2.
∴点C(-2,0).
∴S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC
=$\frac {1}{2}$×2×4+$\frac {1}{2}$×2×2=6.
点评:
本题考查用待定系数法求函数解析式,无论是自变量的取值范围还是函数值的取值范围,都应该从交点入手思考;需注意反比例函数的自变量不能取0.
如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=$\frac {m}{x}$的图象交于点A﹙-2,-5﹚,C﹙5,n﹚,交y轴于点B,交x轴于点D.连接OA,OC,则△AOC的面积=.
分析:
由反比例函数$\frac {m}{x}$的图象经过点A﹙-2,-5﹚可得反比例函数的表达式$\frac {10}{x}$,
又点C﹙5,n﹚在反比例函数的图象上可得C的坐标为﹙5,2﹚,而一次函数的图象经过点A、C,
将这两个点的坐标代入y=kx+b,可得所求一次函数的表达式为y=x-3.
把x=0代入一次函数y=x-3可得B点坐标为﹙0,-3﹚即OB=3又A点的横坐标为-2,C点的横坐标为5,
可得S_△AOC=S_△AOB+S_△BOC=$\frac {1}{2}$$\frac {1}{2}$$\frac {1}{2}$$\frac {21}{2}$.
解答:
解:∵反比例函数$\frac {m}{x}$的图象经过点A﹙-2,-5﹚,
∴m=(-2)×(-5)=10
∴反比例函数的表达式为$\frac {10}{x}$.(2分)
∵点C﹙5,n﹚在反比例函数的图象上,
∴$\frac {10}{5}$=2,
∴C的坐标为﹙5,2﹚.(3分)
∵一次函数的图象经过点A,C,将这两个点的坐标代入y=kx+b,
得$\left\{\begin{matrix}-5=-2k+b \ 2=5k+b \ \end{matrix}\right.$,解得$\left\{\begin{matrix}k=1 \ b=-3 \ \end{matrix}\right.$(5分)
∴所求一次函数的表达式为y=x-3.(6分)
∵一次函数y=x-3的图象交y轴于点B,
∴B点坐标为﹙0,-3﹚(7分)
∴OB=3
∵A点的横坐标为-2,C点的横坐标为5,
∴S_△AOC=S_△AOB+S_△BOC=$\frac {1}{2}$$\frac {1}{2}$$\frac {1}{2}$$\frac {21}{2}$.(10分)
点评:
本题考查反比例函数和一次函数解析式的确定、图形的面积求法等知识及综合应用知识、解决问题的能力.此题难度较大.