分析：

先根据边长为9，BD=3，求出CD的长度，然后根据∠ADE=60°和等边三角形的性质，证明△ABD∽△DCE，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得CE的长度，即可求出AE的长度．

解答：

解：∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=∠C=60°，AB=BC；

∴CD=BC-BD=9-3=6；

∴∠BAD+∠ADB=120°

∵∠ADE=60°，

∴∠ADB+∠EDC=120°

∴∠DAB=∠EDC，

又∵∠B=∠C=60°，

∴△ABD∽△DCE，

则$\frac {AB}{BD}$=$\frac {DC}{CE}$，

即$\frac {9}{3}$=$\frac {6}{CE}$，

解得：CE=2，

故AE=AC-CE=9-2=7．

故答案为：7．

点评：

此题主要考查了相似三角形的判定和性质以及等边三角形的性质，根据等边三角形的性质证得△ABD∽△DCE是解答此题的关键．

分析：

解答：

点评：

本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△BAP∽△CPD，主要考查了学生的推理能力和计算能力．

分析：

分别在直角三角形BCF和直角三角形AEF中求得DF和DE的长后相加即可得到EF的长．

解答：

解：在直角三角形DCF中，

∵CD=5.4m，∠DCF=30°，

∴sin∠DCF=$\frac {FD}{DC}$=$\frac {DF}{5.4}$=$\frac {1}{2}$，

∴DF=2.7，

∵∠CDF+∠DCF=90°∠ADE+∠CDF=90°，

∴∠ADE=∠DCF，

∵AD=BC=2，

∴cos∠ADE=$\frac {DE}{AD}$=$\frac {ED}{2}$=$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$，

∴DE=$\sqrt {3}$，

∴EF=ED+DF=2.7+1.732≈4.4米．

点评：

本题考查了解直角三角形的应用，如何从纷杂的实际问题中整理出直角三角形是解决此类题目的关键．

分析：

设AE边为x，则DE边为8-x，根据相似三角形对应边成比例，列出比例式求解即可．

解答：

解：根据题意，截出的三角形是相似三角形，

设AE=x，则DE边为8-x，

∵△ABE∽△DEC，

∴$\frac {AE}{CD}$=$\frac {AB}{DE}$，

即$\frac {x}{2$\sqrt {3}$}$=$\frac {2$\sqrt {3}$}{8-x}$，

整理得x-8x+12=0，

解得x$_1$=2，x$_2$=6(舍去)，

因此较短直角边的长为2．

故应填2．

点评：

本题主要利用相似三角形对应边成比例的性质，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键．

分析：

已知△ABE∽△DEF，那么点A、D对应，点B、E对应，点E、F对应，首先根据相似三角形得到的比例线段求出DF的长，再由勾股定理求得EF的值．

解答：

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠D=90°；

∵△ABE∽△DEF，

∴$\frac {AB}{AE}$=$\frac {DE}{DF}$，即$\frac {6}{9}$=$\frac {2}{DF}$，解得DF=3；

在Rt△DEF中，DE=2，DF=3，由勾股定理得：

EF=$\sqrt {}$=$\sqrt {13}$≈3.61．

故答案为：3.61．

点评：

此题主要考查的是相似三角形的性质，找准对应顶点是解题的关键．

分析：

作AF⊥BC于F，交MQ于E，利用MQ∥BC得到△AMQ∽△ABC，然后利用相似三角形对应边的比相等可求得高AF的长度，最后求得△ABC的面积．

解答：

解：作AE⊥BC于F，交MQ于E．

由题意可知：

∵MQ∥BC

∴△AMQ∽△ABC

∴$\frac {MQ}{BC}$=$\frac {AM}{AB}$=$\frac {1}{4}$

又∵$\frac {MN}{AF}$=$\frac {BM}{AB}$=$\frac {AB-AM}{AB}$=1-$\frac {AM}{AB}$=1-$\frac {1}{4}$=$\frac {3}{4}$

∴AF=$\frac {4}{3}$MN=4

∴S_△ABC=$\frac {12×4}{2}$=24

点评：

本题考查了相似三角形的判定与性质及正方形的性质等知识，综合性比较强，难度适中．

分析：

先根据题意易证△AHG∽△ABC，列出比例关系，可以解出内接正方形EFGH的边长；再根据三角形的面积公式计算即可．

解答：

解：设AD与HG的交点为I，

由题意知，

∵四边形EFGH是△ABC内接正方形，

∴HG∥BC，

∴△AHG∽△ABC，

∴AI：AD=HG：BC，

设正方形的边长为x，

∴$\frac {15-x}{15}$=$\frac {x}{21}$，

解得x=$\frac {35}{4}$，

∴求正方形边长是$\frac {35}{4}$；

∵AI=AD-DI=15-$\frac {35}{4}$=$\frac {25}{4}$，HG=$\frac {35}{4}$，

∴△AHG的面积=$\frac {1}{2}$×$\frac {35}{4}$×$\frac {25}{4}$=$\frac {875}{32}$．

点评：

本题主要考查正方形的性质，三角形相似的判定和性质等知识点，不是很难．

分析：

过点A作AH⊥BC于点H，交DG于点M，先根据△ABC的面积为75cm_，BC=15cm求出AH的长，设这个正方形的边长为x，则MH=x，AM=AD-MH=AD-x，再根据DG∥BC可得出△ADG∽△ABC，根据相似三角形的性质即可得出结论．

解答：

解：过点A作AH⊥BC于点H，交DG于点M，

∵△ABC的面积为75cm_，BC=15cm，

∴$\frac {1}{2}$BC•AH=75，即$\frac {1}{2}$×15AH=75，解得AH=10cm，

设这个正方形的边长为x，则MH=x，AM=AH-MH=AH-x=10-x，

∵DG∥BC，

∴△ADG∽△ABC，

∴$\frac {DG}{BC}$=$\frac {AM}{AH}$，即$\frac {x}{15}$=$\frac {10-x}{10}$，解得x=6cm．

答：这个正方形的边长为6cm．

点评：

本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质和平行线分线段成比例定理，是各地中考考查相似三角形常见题型．

分析：

首先根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求出AB的长度，然后根据锐角三角函数的定义求出sinB即可．

解答：

解：∵Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，CD=4，

∴AB=2CD=8，

则sinB=$\frac {AC}{AB}$=$\frac {6}{8}$=$\frac {3}{4}$．

故答案为：$\frac {3}{4}$．

点评：

本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，解答本题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线定理和锐角三角函数的定义．

分析：

根据垂径定理由AB⊥CD得到AP=$\frac {1}{2}$AB=4cm，再在Rt△OAP中，利用勾股定理计算出OP=3，然后根据正弦的定义求解．

解答：

解：∵AB⊥CD，

∴AP=BP=$\frac {1}{2}$AB=$\frac {1}{2}$×8=4cm，

在Rt△OAP中，OA=$\frac {1}{2}$CD=5，

∴OP=$\sqrt {}$=3，

∴sin∠OAP=$\frac {OP}{OA}$=$\frac {3}{5}$．

故答案为：$\frac {3}{5}$．

点评：

本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和锐角三角函数．