已知直角三角形两边的长为3和4,则此三角形的周长为( )
题目答案
您的答案
答案解析
分析:
先设Rt△ABC的第三边长为x,由于4是直角边还是斜边不能确定,故应分4是斜边或x为斜边两种情况讨论.
解答:
解:设Rt△ABC的第三边长为x,
①当4为直角三角形的直角边时,x为斜边,
由勾股定理得,x=5,此时这个三角形的周长=3+4+5=12;
②当4为直角三角形的斜边时,x为直角边,
由勾股定理得,x=,此时这个三角形的周长=3+4+,
故选C.
已知直角三角形两边的长为3和4,则此三角形的周长为( )
分析:
先设Rt△ABC的第三边长为x,由于4是直角边还是斜边不能确定,故应分4是斜边或x为斜边两种情况讨论.
解答:
解:设Rt△ABC的第三边长为x,
①当4为直角三角形的直角边时,x为斜边,
由勾股定理得,x=5,此时这个三角形的周长=3+4+5=12;
②当4为直角三角形的斜边时,x为直角边,
由勾股定理得,x=,此时这个三角形的周长=3+4+,
故选C.
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=60°,DE是斜边AC的中垂线,分别交AB、AC于D、E两点.若BD=2,则AC的长是( )
分析:
已知∠ACB,根据线段垂直平分线求出AD=CD,求出∠ACD、∠DCB,求出CD、AD、AB,由勾股定理求出BC,再求出AC即可.
解答:
解:如图,∵在Rt△ABC中,∠ACB=60°,
∴∠A=30°.
∵DE垂直平分斜边AC,
∴AD=CD,
∴∠ACD=∠A=30°,
∴∠DCB=60°-30°=30°,
∵BD=2,
∴AD=CD=2BD=4,
∴AB=4+2=6,
在△BCD中,由勾股定理得:BC=2$\sqrt {3}$,
在△ABC中,由勾股定理得:AC=$\sqrt {}$=4$\sqrt {3}$,
故选:B.
点评:
本题考查了线段垂直平分线,含30°的直角三角形,等腰三角形的性质,三角形的内角和定理等知识点的应用,主要考查学生运用这些定理进行推理的能力,题目综合性比较强,难度适中.
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC与BC相交于点D,若AD=4,CD=2,则AB的长是{_ _}.
分析:
先求出∠CAD=30°,求出∠BAC=60°,∠B=30°,根据勾股定理求出AC,再求出AB=2AC,代入求出即可.
解答:
解:∵在Rt△ACD中,∠C=90°,CD=2,AD=4,
∴∠CAD=30°,
∴由勾股定理得:AC=$\sqrt {}$=2$\sqrt {3}$,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAC=60°,
∴∠B=30°,
∴AB=2AC=4$\sqrt {3}$,
故答案为:4$\sqrt {3}$,选A.
点评:
本题考查了含30度角的直角三角形性质,三角形内角和定理,勾股定理的应用,解此题的关键是求出AC长和求出∠B=30°,注意:在直角三角形中,如果有一个角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,BC=6,则AB的长为___.
分析:
利用30°的直角三角形中,三边从小到大的比是1:$\sqrt {3}$:2来得出解.
解答:
解:∵∠C=90°,∠B=30°,
∴AC:BC:AB=1:$\sqrt {3}$:2.
∵BC=6,
∴AB=4$\sqrt {3}$,
故答案为:4$\sqrt {3}$.
点评:
本题主要考察了30°的直角三角形中,三边从小到大的比是1:$\sqrt {3}$:2.
已知△ABC为等边三角形,BD为中线,延长BC至E,使CE=CD=1,连接DE,则DE={_ _}.
分析:
根据等腰三角形和三角形外角性质求出BD=DE,求出BC,在Rt△BDC中,由勾股定理求出BD即可.
解答:
解:∵△ABC为等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°,AB=BC,
∵BD为中线,
∴∠DBC=$\frac {1}{2}$∠ABC=30°,
∵CD=CE,
∴∠E=∠CDE,
∵∠E+∠CDE=∠ACB,
∴∠E=30°=∠DBC,
∴BD=DE,
∵BD是AC中线,CD=1,
∴AD=DC=1,
∵△ABC是等边三角形,
∴BC=AC=1+1=2,BD⊥AC,
在Rt△BDC中,由勾股定理得:BD=$\sqrt {}$=$\sqrt {3}$,
即DE=BD=$\sqrt {3}$,
故答案为:$\sqrt {3}$,选B.
点评:
本题考查了等边三角形性质,勾股定理,等腰三角形性质,三角形的外角性质等知识点的应用,关键是求出DE=BD和求出BD的长.
如图,若∠A=60°,AC=20m,则BC大约是(结果精确到0.1m) ( )
分析:
首先计算出∠B的度数,再根据直角三角形的性质可得AB=40m,再利用勾股定理计算出BC长即可.
解答:
解:∵∠A=60°,∠C=90°,
∴∠B=30°,
∴AB=2AC,
∵AC=20m,
∴AB=40m,
∴BC=$\sqrt {}$=$\sqrt {1600-400}$=$\sqrt {1200}$=20$\sqrt {3}$≈34.6(m),
故选:B.
点评:
此题主要考查了勾股定理,以及直角三角形的性质,关键是掌握在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半.在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.
如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC边上,且△ABD是等边三角形.若AB=2,则△ABC的周长为{_ _}.(结果保留根号)
分析:
根据等边三角形性质求出∠B=60°,求出∠C=30°,求出BC=4,根据勾股定理求出AC,相加即可求出答案.
解答:
解:∵△ABD是等边三角形,
∴∠B=60°,
∵∠BAC=90°,
∴∠C=180°-90°-60°=30°,
∵AB=2,
∴BC=2AB=4,
在Rt△ABC中,由勾股定理得:AC=$\sqrt {}$=$\sqrt {}$=2$\sqrt {3}$,
∴△ABC的周长是AC+BC+AB=2$\sqrt {3}$+4+2=6+2$\sqrt {3}$.
答:△ABC的周长是6+2$\sqrt {3}$,选C.
点评:
本题考查了勾股定理,含30度角的直角三角形,等边三角形性质,三角形的内角和定理等知识点的应用,主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力,此题综合性比较强,是一道比较好的题目.
如图,△ABC是等边三角形,P是∠ABC的平分线BD上一点,PE⊥AB于点E,线段BP的垂直平分线交BC于点F,垂足为点Q.若BF=2,则PE的长为( )
分析:
先根据△ABC是等边三角形,P是∠ABC的平分线可知∠EBP=∠QBF=30°,再根据BF=2,FQ⊥BP可得出BQ的长,再由BP=2BQ可求出BP的长,在Rt△BEP中,根据∠EBP=30°即可求出PE的长.
解答:
解:∵△ABC是等边三角形,P是∠ABC的平分线,
∴∠EBP=∠QBF=30°,
∵BF=2,QF为线段BP的垂直平分线,
∴∠FQB=90°,
∴QF=$\frac {1}{2}$BF=1,BQ=$\sqrt {3}$QF=$\sqrt {3}$,
∴BP=2BQ=2$\sqrt {3}$,
在Rt△BEP中,
∵∠EBP=30°,
∴PE=$\frac {1}{2}$BP=$\sqrt {3}$.
故选C.
点评:
本题考查的是等边三角形的性质、角平分线的性质及直角三角形的性质,熟知等边三角形的三个内角都是60°是解答此题的关键.
如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,DE垂直平分斜边AC,交AB于D,E是垂足,连接CD,若BD=1,则AC的长是( )
分析:
求出∠ACB,根据线段垂直平分线求出AD=CD,求出∠ACD、∠DCB,求出CD、AD、AB,由勾股定理求出BC,再求出AC即可.
解答:
解:∵∠A=30°,∠B=90°,
∴∠ACB=90°-30°=60°,
∵DE垂直平分斜边AC,
∴AD=CD,
∴∠ACD=∠A=30°,
∴∠DCB=60°-30°=30°,
∵BD=1,
∴AD=CD=2BD=2,
∴AB=1+2=3,
在△BCD中,由勾股定理得:BC=$\sqrt {3}$,
在△ABC中,AC=2BC=2$\sqrt {3}$,
故选A.
点评:
本题考查了线段垂直平分线,含30°的直角三角形,等腰三角形的性质,三角形的内角和定理等知识点的应用,主要考查学生运用这些定理进行推理的能力,题目综合性比较强,难度适中.
如图,△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形,点B、C、E在同一条直线上,连接BD,则BD的长为( )
分析:
根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可以发现∠BDE=90°,再进一步根据勾股定理进行求解.
解答:
解:∵△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形,
∴∠DCE=∠CDE=60°,BC=CD=4.
∴∠BDC=∠CBD=30°.
∴∠BDE=90°.
∴BD=$\sqrt {}$=4$\sqrt {3}$.
故选D.
点评:
此题综合应用了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质和勾股定理.
如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=22.5°,AB的垂直平分线交AB于D,交BC于E,若CE=3,则BE的长是( )
分析:
利用线段的垂直平分线的性质计算.
解答:
解:已知∠C=90°,∠B=22.5°,DE垂直平分AB.
故∠EAB=∠B=22.5°,
∴∠AEC=45°.
又∵∠C=90°,
∴△ACE为等腰直角三角形,
∴AC=CE=3,
根据勾股定理得AE=3$\sqrt {2}$.
∴BE=AE=3$\sqrt {2}$,故选D.
点评:
本题考查的是线段的垂直平分线的性质(垂直平分线上任意一点,和线段两端点的距离相等),难度一般.