如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为( )
分析：
先根据△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线可知∠EBP=∠QBF=30°，再根据BF=2，FQ⊥BP可得出BQ的长，再由BP=2BQ可求出BP的长，在Rt△BEP中，根据∠EBP=30°即可求出PE的长．
解答：
解：∵△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线，
∴∠EBP=∠QBF=30°，
∵BF=2，QF为线段BP的垂直平分线，
∴∠FQB=90°，
∴QF=$\frac {1}{2}$BF=1，BQ=$\sqrt {3}$QF=$\sqrt {3}$，
∴BP=2BQ=2$\sqrt {3}$，
在Rt△BEP中，
∵∠EBP=30°，
∴PE=$\frac {1}{2}$BP=$\sqrt {3}$．
故选C．
点评：
本题考查的是等边三角形的性质、角平分线的性质及直角三角形的性质，熟知等边三角形的三个内角都是60°是解答此题的关键．
如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是( )
分析：
求出∠ACB，根据线段垂直平分线求出AD=CD，求出∠ACD、∠DCB，求出CD、AD、AB，由勾股定理求出BC，再求出AC即可．
解答：
解：∵∠A=30°，∠B=90°，
∴∠ACB=90°-30°=60°，
∵DE垂直平分斜边AC，
∴AD=CD，
∴∠ACD=∠A=30°，
∴∠DCB=60°-30°=30°，
∵BD=1，
∴AD=CD=2BD=2，
∴AB=1+2=3，
在△BCD中，由勾股定理得：BC=$\sqrt {3}$，
在△ABC中，AC=2BC=2$\sqrt {3}$，
故选A．
点评：
本题考查了线段垂直平分线，含30°的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要考查学生运用这些定理进行推理的能力，题目综合性比较强，难度适中．
如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为( )
分析：
根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可以发现∠BDE=90°，再进一步根据勾股定理进行求解．
解答：
解：∵△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，
∴∠DCE=∠CDE=60°，BC=CD=4．
∴∠BDC=∠CBD=30°．
∴∠BDE=90°．
∴BD=$\sqrt {}$=4$\sqrt {3}$．
故选D．
点评：
此题综合应用了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质和勾股定理．
如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，若CE=3，则BE的长是( )
分析：
利用线段的垂直平分线的性质计算．
解答：
解：已知∠C=90°，∠B=22.5°，DE垂直平分AB．
故∠EAB=∠B=22.5°，
∴∠AEC=45°．
又∵∠C=90°，
∴△ACE为等腰直角三角形，
∴AC=CE=3，
根据勾股定理得AE=3$\sqrt {2}$．
∴BE=AE=3$\sqrt {2}$，故选D．
点评：
本题考查的是线段的垂直平分线的性质(垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等)，难度一般．
如图，在边长为1的等边△ABC中，中线AD与中线BE相交于点O，则OA长度为( )
分析：
根据等边三角形三线合一的特点及直角三角形的性质解答即可．
解答：
解：∵△ABC是等边三角形，AD、BE为中线；
∴BD=AE=$\frac {1}{2}$，∠ABE=∠BAD=30°，∠AEB=∠ADB=90°；
∴AD=BE=$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$；
在Rt△BOD中，BD=$\frac {1}{2}$，∠DBO=30°；
∴OD=$\frac {BD}{$\sqrt {3}$}$=$\frac {$\sqrt {3}$}{6}$；
∴OA=AD-OD=$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$-$\frac {$\sqrt {3}$}{6}$=$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$．
故OA的长度为$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$，选A．
点评：
此题比较简单，解答此题的关键是熟知等边三角形三线合一的性质．
等腰直角三角形的三边之比为（ ）
分析：
先设等腰直角三角形的一个直角边长为a，根据勾股定理计算出其斜边的长，然后三边相比即可．
解答：
解：设等腰直角三角形的一个直角边长为a，
则另一边长也为a，其斜边长为$\sqrt {}$=$\sqrt {2}$a，
所以等腰直角三角形的三边之比为a：a：$\sqrt {2}$a=1：1：$\sqrt {2}$．
故选B．
点评：
本题考查学生对等腰直角三角形和勾股定理的理解和掌握，解得此题的关键是利用勾股定理求出其斜边的长，此题难度不大，是一道基础题．
如果一个三角形的三边之比为1：$\sqrt {2}$：1，那么最小边所对的角为（ ）
分析：
根据勾股定理的逆定理进行解答即可．
解答：
解：设三角形的三边分别为x、$\sqrt {2}$x、x，
∴x+x_=($\sqrt {2}$x)_，
∴此三角形为直角三角形，
∴最大角为90°，
∵三边的比为1：$\sqrt {2}$：1，
∴此三角形为等腰直角三角形，
∴最小角为45°．
故选B．
点评：
本题考查的是等腰直角三角形的知识及勾股定理的逆定理，即若一个三角形的三边满足a_+b_=c_，则这个三角形是直角三角形．
一个等腰直角三角形的斜边为 4$\sqrt {2}$，则其面积为（ ）
分析：
设等腰直角三角形的两直角边为x，由勾股定理得出方程x+x_=(4$\sqrt {2}$)_，求出x，再根据三角形的面积公式求出即可．
解答：
解：设等腰直角三角形的两直角边为x，
则由勾股定理得：x+x_=(4$\sqrt {2}$)_，
解得：x=4，
即等腰直角三角形的面积是：$\frac {1}{2}$×4×4=8，
故选B．
点评：
本题考查了等腰直角三角形性质、勾股定理、三角形的面积等知识点，关键是求出等腰直角三角形的直角边，用了方程思想．
如果一个等腰直角三角形的面积为2，则斜边长为（ ）
分析：
先设等腰直角三角形一个直角边为x，利用等腰直角三角形的面积为2，求出等腰直角三角形一个直角边，再用勾股定理即可求出其斜边的长．
解答：
解：设等腰直角三角形一个直角边为x，
则x×x×$\frac {1}{2}$=2，解得x=2，
由勾股定理得斜边长为2$\sqrt {2}$．
故选C．
点评：
此题考查学生对等腰直角三角形和勾股定理的理解和掌握，解答此题的关键是先求出等腰直角三角形一个直角边的长，这是此题的突破点，难度不大，是一道基础题．
如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=45°，AC=6，则AB边上的高CD为( )．
分析：
由已知直角三角形ABC中，∠ACB=90°，∠A=45°，CD是AB边上的高可结合等腰直角三角形的性质得到CD的值．
解答：
解：∵∠ACB=90°，∠A=45°，
∴∠B=45°，
∴AC=BC，
∵AC=6，
∴AB=$\sqrt {2}$AC=6$\sqrt {2}$，
又∵CD⊥AB，
∴AD=BD=$\frac {1}{2}$AB=3$\sqrt {2}$，
∴CD=AD=3$\sqrt {2}$，选C．
点评：
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，熟记性质是解题的关键．
一直角三角形的一条直角边长是7，另一条直角边与斜边长的和是49，则斜边的长（ ）
分析：
设另一直角边是x，斜边为(49-x)，根据勾股定理可求出解．
解答：
解：设另一直角边是x，
x+7_=(49-x)_
x=24，
49-24=25．
故斜边长是25．
故选D．
点评：
本题考勾股定理的应用，关键是设出另一个直角边为x，根据勾股定理可求出解．