如图,在底面半径为2,(π取3)高为8的圆柱体上有只小虫子在A点,它想爬到B点,则爬行的最短路程是( )
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答案解析
分析:
A、B之间的最短路程为两直角边分别为圆柱的高,底面周长的一半的直角三角形的斜边长.
解答:
解:底面周长的一半为:2π≈6,
∴高等于8,
∴最短路程为:$\sqrt {}$=10,
故选:A.
点评:
此题主要考查了最短路径问题;立体几何中的最短路径问题,通常整理为平面几何中两点之间距离问题.
如图,在底面半径为2,(π取3)高为8的圆柱体上有只小虫子在A点,它想爬到B点,则爬行的最短路程是( )
分析:
A、B之间的最短路程为两直角边分别为圆柱的高,底面周长的一半的直角三角形的斜边长.
解答:
解:底面周长的一半为:2π≈6,
∴高等于8,
∴最短路程为:$\sqrt {}$=10,
故选:A.
点评:
此题主要考查了最短路径问题;立体几何中的最短路径问题,通常整理为平面几何中两点之间距离问题.
如图,已知等边△ABC的边长为6,点D为AC的中点,点E为BC的中点,点P为BD上一点,则PE+PC的最小值为( )
分析:
由题意可知点A、点C关于BD对称,连接AE交BD于点P,由对称的性质可得,PA=PC,故PE+PC=AE,由两点之间线段最短可知,AE即为PE+PC的最小值.
解答:
解:∵△ABC是等边三角形,点D为AC的中点,点E为BC的中点,
∴BD⊥AC,EC=3,
连接AE,线段AE的长即为PE+PC最小值,
∵点E是边BC的中点,
∴AE⊥BC,
∴AE=$\sqrt {}$=$\sqrt {}$=3$\sqrt {3}$,
∴PE+PC的最小值是3$\sqrt {3}$.
故选D.
点评:
本题考查的是轴对称-最短路线问题,熟知等边三角形的性质是解答此题的关键.
如图,在锐角△ABC中,AB=6,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是( )
分析:
作BH⊥AC,垂足为H,交AD于M点,过M点作MN⊥AB,垂足为N,则BM+MN为所求的最小值,根据AD是∠BAC的平分线可知MH=MN,再由锐角三角函数的定义即可得出结论.
解答:
解:如图,作BH⊥AC,垂足为H,交AD于M点,过M点作MN⊥AB,垂足为N.
∵AD是∠BAC的平分线,
∴MH=MN,
∴BM+MN=BM+MH=BN,
∴BH是点B到直线AC的最短距离(垂线段最短),
∴BH就是BM+MN的最小值,
∵AB=6,∠BAC=45°,
∴BH=AB•sin45°=6×$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$=3$\sqrt {2}$.
∴BM+MN的最小值是3$\sqrt {2}$.
故选A.
点评:
本题考查的是轴对称-最短路线问题,解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考,通过角平分线性质,垂线段最短,确定线段和的最小值.
在一次“寻宝”中,寻宝人找到了如图所示的两个标志点A(2,3),B(4,1),A,B两点到“宝藏”点的距离都是$\sqrt {10}$,则“宝藏”点的坐标是( )
分析:
根据两点之间的距离公式,d=$\sqrt {}$,将四个选项代入公式中,观察哪一个等于$\sqrt {10}$,再作答.
解答:
解:设宝藏的坐标点为C(x,y),
根据坐标系中两点间距离公式可知,AC=BC,
则(x-2)_+(y-3)_=(x-4)_+(y-1)_,
化简得x-y=1;
又因为标志点到“宝藏”点的距离是$\sqrt {10}$,
所以(x-2)_+(y-3)_=10;
把x=1+y代入方程得,y=0或y=4,即x=1或5,
所以“宝藏”C点的坐标是(1,0)或(5,4).
故选C.
点评:
本题考查了坐标的确定及利用两点的坐标确定两点之间的距离公式,是一道中难度题.
在一次“寻宝”游戏中,寻宝人找到了如图所示两个标志点A(2,1),B(4,-1),这两个标志点到“宝藏”点的距离都是$\sqrt {10}$,则“宝藏”点的坐标是( )
分析:
根据两点间的距离公式列方程组求.
解答:
解:设宝藏的坐标点为C(x,y),根据坐标系中两点间距离公式可知,AC=BC,
则$\sqrt {}$=$\sqrt {}$
两边平方得(x-2)_+(y-1)_=(x-4)_+(y+1)_
化简得x-y=3;
又因为标志点到“宝藏”点的距离是$\sqrt {10}$,所以(x-2)_+(y-1)_=10;
把x=3+y代入方程得,y=±2,即x=5或1,
所以“宝藏”C点的坐标是(5,2)或(1,-2).
故选C.
点评:
本题主要考查了平面直角坐标系中的两点间距离公式的实际应用,此公式要去掌握,在解决此类问题时用此作为相等关系列方程是一个很重要的方法.若有两点A(x$_1$,y$_1$),B(x$_2$,y$_2$),则两点间距离公式:AB=$\sqrt {}$.
如图,正方形网格中,每小格正方形边长为1,则网格上的三角形ABC中,边长为无理数的边数有( )
分析:
根据图中所示,利用勾股定理求出每个边长,然后根据无理数的定义即可得出答案.
解答:
解:观察图形,应用勾股定理,得
AB=$\sqrt {}$=$\sqrt {17}$,
BC=$\sqrt {}$=$\sqrt {10}$,
AC=$\sqrt {}$=5,
∴AB和BC两个边长都是无理数.
故选C.
点评:
此题考查了勾股定理的应用.注意格点三角形的三边的求解方法:借助于直角三角形,用勾股定理求解.
如图,是由边长为1 m的正方形地砖铺设的地面示意图,小明沿图中所示的折线从A⇒B⇒C所走的路程为( )m.
分析:
根据图形,运用勾股定理分别求出AB、BC的长,即可解答.
解答:
解:由图片可知:AB、BC均为长2宽1的矩形的对角线,AB=$\sqrt {}$=$\sqrt {5}$m,BC=$\sqrt {}$=$\sqrt {5}$m,因此AB+BC=2$\sqrt {5}$m,故选C.
点评:
本题考查了正方形,矩形的性质以及勾股定理的应用.
如图,在6×6的正方形网格中,点A,B均在正方形格点上,若在网格中的格点上找一点C,使△ABC为等腰三角形,这样的点C一共有( )
分析:
首先由勾股定理可求得AB的长,然后分别从BA=BC,AB=AC,CA=CB去分析求解即可求得答案.
解答:
解:∵AB==2,如图所示:
∴①若BA=BC,则符合要求的有:C$_1$,C$_2$共2个点;
②若AB=AC,则符合要求的有:C$_3$,C$_4$共2个点;
③若CA=CB,则符合要求的有:C$_5$,C$_6$,C$_7$,C$_8$,C_9,C$_1$0共6个点.
∴这样的C点有10个.
故选:C.
如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A.B都是格点,则线段AB的长度为( )
分析:
建立格点三角形,利用勾股定理求解AB的长度即可.
解答:
解:如图所示:
AB==5.
故选:A.
已知a、b、c是三角形的三边长,如果满足(a-6)_+$\sqrt {b-8}$+|c-10|=0,则三角形的形状是( )
分析:
首先根据绝对值,平方数与算术平方根的非负性,求出a,b,c的值,在根据勾股定理的逆定理判断其形状是直角三角形.
解答:
解:∵(a-6)_≥0,$\sqrt {b-8}$≥0,|c-10|≥0,
又∵(a-6)_+$\sqrt {b-8}$+|c-10|=0,
∴a-6=0,b-8=0,c-10=0,
解得:a=6,b=8,c=10,
∵6_+8_=36+64=100=10_,
∴是直角三角形.
故选D.
点评:
本题主要考查了非负数的性质与勾股定理的逆定理,此类题目在考试中经常出现,是考试的重点.
若△ABC三边长a,b,c满足|a+b-7|+|a-b-1|+(c-5)_=0,则△ABC是( )
分析:
本题可根据非负数的性质“几个非负数相加,和为0,这几个非负数的值都为0.”解出a、b、c的值,再
根据勾股定理的逆定理:若a_+b_=c_,则为直角三角形;进行判断.
解答:
解:依题意得:a+b-7=0…①.
a-b-1=0…②
c-5=0…③
由②得:b=a-1…④
把④代入①得:a-1+a-7=0
a=4,代入④得:b=3
由③得c=5
∵a_+b_=c_
∴三角形ABC为直角三角形.
故选C.
点评:
本题考查实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟记特殊特殊的三角形的性质.熟练掌握绝对值、非负数等考点的运算.