如图,△ABC与△DEF是位似图形,位似比为2:3,已知AB=4,则DE的长为.
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答案解析
分析:
位似图形就是特殊的相似图形位似比等于相似比.利用相似三角形的性质即可求解.
解答:
∵△ABC与△DEF是位似图形,位似比为2:3,
∴AB:DE=2:3,
∴DE=6.
故答案为:6.
点评:
本题主要考查位似的定义.解题的关键是掌握位似图形是相似图形的特殊形式,位似比等于相似比的特点.
如图,△ABC与△DEF是位似图形,位似比为2:3,已知AB=4,则DE的长为.
分析:
位似图形就是特殊的相似图形位似比等于相似比.利用相似三角形的性质即可求解.
解答:
∵△ABC与△DEF是位似图形,位似比为2:3,
∴AB:DE=2:3,
∴DE=6.
故答案为:6.
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本题主要考查位似的定义.解题的关键是掌握位似图形是相似图形的特殊形式,位似比等于相似比的特点.
在△ABC中,点D、E分别在AB、AC上,∠AED=∠B,如果AE=2,△ADE的面积为4,四边形BCED的面积为5,那么AB的长为.
分析:
由∠AED=∠B,∠A是公共角,根据有两角对应相等的三角形相似,即可证得△ADE∽△ACB,又由相似三角形面积的比等于相似比的平方,即可得$\frac {S_△ADE}{S_△ABC}$=($\frac {AE}{AB}$)_,然后由AE=2,△ADE的面积为4,四边形BCDE的面积为5,即可求得AB的长.
解答:
解:∵∠AED=∠B,∠A是公共角,
∴△ADE∽△ACB,
∴$\frac {S_△ADE}{S_△ABC}$=($\frac {AE}{AB}$)_,
∵△ADE的面积为4,四边形BCED的面积为5,
∴△ABC的面积为9,
∵AE=2,
∴$\frac {4}{9}$=($\frac {2}{AB}$)_,
解得:AB=3.
故答案为:3.
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此题考查了相似三角形的判定与性质.此题比较简单,注意掌握有两角对应相等的三角形相似与相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用.
如图所示,等腰梯形ABCD中,DC∥AB,对角线AC与BD交于点O,AD=DC,AC=BD=AB.若∠ABD=α,则α=°.
分析:
根据DC∥AB,AD=DC,可以得到∠DAC=∠BAC,又等腰梯形ABCD中∠BAC=∠ABD,在等腰△ABD中,BD=AB利用三角形内角和定理列式求解即可.
解答:
解:∵DC∥AB,
∴∠DCA=∠CAB,
∵AD=DC,
∴∠DCA=∠DAC,
∴∠DAC=∠CAB,
∴∠DAB=2∠CAB=2α,
在等腰梯形ABCD中,∠CAB=∠ABD=α,
又∵BD=AB,
∴∠DAB=∠ADB,
∴在△ABD中,
α+2×2α=180°,
解得α=36°.
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考查等腰梯形的性质,利用等边对等角的性质推出角的关系再利用三角形内角和定理求出角是解题的关键.
如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,DE⊥BC,BD⊥DC,垂足分别为E,D,DE=3,BD=5,则腰长AB=.
分析:
利用勾股定理列式求出BE的长,再利用∠CBD的正切值列式求出CD,然后根据等腰梯形的腰长相等解答.
解答:
解:∵DE=3,BD=5,DE⊥BC,
∴BE=$\sqrt {}$=$\sqrt {}$=4,
又∵BD⊥DC,
∴tan∠CBD=$\frac {CD}{BD}$=$\frac {DE}{BE}$,
即$\frac {CD}{5}$=$\frac {3}{4}$,
解得CD=$\frac {15}{4}$,
∵梯形ABCD是等腰梯形,AD∥BC,
∴AB=CD=$\frac {15}{4}$.
故答案为:$\frac {15}{4}$.
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本题考查了等腰梯形的两腰相等,勾股定理的应用,利用锐角三角函数求解更加简便.
如图,小明在A时测得某树的影长为2m,B时又测得该树的影长为8m,若两次日照的光线互相垂直,则树的高度为m.
分析:
根据题意,画出示意图,易得:Rt△EDC∽Rt△CDF,进而可得$\frac {ED}{DC}$=$\frac {DC}{FD}$;即DC_=ED•FD,代入数据可得答案.
解答:
解:如图:过点C作CD⊥EF,
由题意得:△EFC是直角三角形,∠ECF=90°,
∴∠EDC=∠CDF=90°,
∴∠E+∠ECD=∠ECD+∠DCF=90°,
∴∠E=∠DCF,
∴Rt△EDC∽Rt△CDF,
有$\frac {ED}{DC}$=$\frac {DC}{FD}$;即DC_=ED•FD,
代入数据可得DC_=16,
DC=4;
故答案为:4.
点评:
本题通过投影的知识结合三角形的相似,求解高的大小;是平行投影性质在实际生活中的应用.
如图,在边长为10cm的正方形ABCD中,P为AB边上任意一点(P不与A、B两点重合),连结DP,过点P作PE⊥DP,垂足为P,交BC于点E,则BE的最大长度为cm.
分析:
设AP=x,BE=y.通过△ABP∽△PCQ的对应边成比例得到$\frac {AD}{BP}$=$\frac {AP}{BE}$,所以$\frac {10}{10-x}$=$\frac {x}{y}$,即y=-$\frac {1}{10}$x+x.利用“配方法”求该函数的最大值.
解答:
解:设AP=x,BE=y.
如图,∵四边形ABCD是正方形,
∴∠A=∠B=90°
∵PE⊥DP,
∴∠2+∠3=90°,∠1+∠2=90°
∴∠1=∠3,
∴△ADP∽△BPE,
∴$\frac {AD}{BP}$=$\frac {AP}{BE}$,即$\frac {10}{10-x}$=$\frac {x}{y}$,
∴y=-$\frac {1}{10}$x+x=-$\frac {1}{10}$(x-5)_+$\frac {5}{2}$(0<x<10);
∴当x=5时,y有最大值$\frac {5}{2}$.
故答案是:$\frac {5}{2}$.
点评:
本题主要考查正方形的性质和二次函数的应用,关键在于理解题意运用三角形的相似性质求出y与x之间的函数关系,求最大值时,运用到“配方法”.
如图,正方形ABCD的边长为4,E、F分别是BC、CD上的两个动点,且AE⊥EF.则AF的最小值是.
分析:
设BE=x,则EC=4-x,先利用等角的余角相等得到∠BAE=∠FEC,则可判断Rt△ABE∽Rt△ECF,利用相似比可表示出FC=$\frac {x(4-x)}{4}$,则DF=4-FC=4-$\frac {x(4-x)}{4}$=$\frac {1}{4}$x-x+4=$\frac {1}{4}$(x-2)_+3,所以x=2时,DF有最小值3,而AF_=AD_+DF_,即DF最小时,AF最小,AF的最小值为$\sqrt {}$=5.
解答:
解:设BE=x,则EC=4-x,
∵AE⊥EF,
∴∠AEF=90°,
∴∠AEB+∠FEC=90°,
而∠AEB+∠BAE=90°,
∴∠BAE=∠FEC,
∴Rt△ABE∽Rt△ECF,
∴$\frac {AB}{EC}$=$\frac {BE}{FC}$,即$\frac {4}{4-x}$=$\frac {x}{FC}$,解得FC=$\frac {x(4-x)}{4}$,
∴DF=4-FC=4-$\frac {x(4-x)}{4}$=$\frac {1}{4}$x-x+4=$\frac {1}{4}$(x-2)_+3
当x=2时,DF有最小值3,
∵AF_=AD_+DF_,
∴AF的最小值为$\sqrt {}$=5.
故答案为:5.
点评:
本题考查了相似三角形的判定与性质:有两组对应边的比相等,并且它们的夹角也相等,那么这两个三角形相似;相似三角形的对应角相等,对应边的比相等.也考查了正方形的性质以及二次函数的最值问题.
如图,在边长为9的正三角形ABC中,BD=3,∠ADE=60°,则AE的长为.
分析:
先根据边长为9,BD=3,求出CD的长度,然后根据∠ADE=60°和等边三角形的性质,证明△ABD∽△DCE,进而根据相似三角形的对应边成比例,求得CE的长度,即可求出AE的长度.
解答:
解:∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=∠C=60°,AB=BC;
∴CD=BC-BD=9-3=6;
∴∠BAD+∠ADB=120°
∵∠ADE=60°,
∴∠ADB+∠EDC=120°
∴∠DAB=∠EDC,
又∵∠B=∠C=60°,
∴△ABD∽△DCE,
则$\frac {AB}{BD}$=$\frac {DC}{CE}$,
即$\frac {9}{3}$=$\frac {6}{CE}$,
解得:CE=2,
故AE=AC-CE=9-2=7.
故答案为:7.
点评:
此题主要考查了相似三角形的判定和性质以及等边三角形的性质,根据等边三角形的性质证得△ABD∽△DCE是解答此题的关键.
如图,等边△ABC的边长为3,P为BC上一点,且BP=1,D为AC上一点,若∠APD=60°,则CD的长为.
分析:
解答:
点评:
本题考查了相似三角形的性质和判定,等边三角形的性质,三角形的内角和定理的应用,关键是推出△BAP∽△CPD,主要考查了学生的推理能力和计算能力.
如图,矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图,已知BC=2m,CD=5.4m,∠DCF=30°,车位所占的宽度EF约为米($\sqrt {3}$≈1.73,结果保留两位有效数字.)
分析:
分别在直角三角形BCF和直角三角形AEF中求得DF和DE的长后相加即可得到EF的长.
解答:
解:在直角三角形DCF中,
∵CD=5.4m,∠DCF=30°,
∴sin∠DCF=$\frac {FD}{DC}$=$\frac {DF}{5.4}$=$\frac {1}{2}$,
∴DF=2.7,
∵∠CDF+∠DCF=90°∠ADE+∠CDF=90°,
∴∠ADE=∠DCF,
∵AD=BC=2,
∴cos∠ADE=$\frac {DE}{AD}$=$\frac {ED}{2}$=$\frac {$\sqrt {3}$}{2}$,
∴DE=$\sqrt {3}$,
∴EF=ED+DF=2.7+1.732≈4.4米.
点评:
本题考查了解直角三角形的应用,如何从纷杂的实际问题中整理出直角三角形是解决此类题目的关键.
在一块长为8、宽为2$\sqrt {}$的矩形中,恰好截出三块形状相同、大小不等的直角三角形,且三角形的顶点都在矩形的边上.其中面积最小的直角三角形的较短直角边的长是.
分析:
设AE边为x,则DE边为8-x,根据相似三角形对应边成比例,列出比例式求解即可.
解答:
解:根据题意,截出的三角形是相似三角形,
设AE=x,则DE边为8-x,
∵△ABE∽△DEC,
∴$\frac {AE}{CD}$=$\frac {AB}{DE}$,
即$\frac {x}{2$\sqrt {3}$}$=$\frac {2$\sqrt {3}$}{8-x}$,
整理得x-8x+12=0,
解得x$_1$=2,x$_2$=6(舍去),
因此较短直角边的长为2.
故应填2.
点评:
本题主要利用相似三角形对应边成比例的性质,熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键.