如图,在△ABC中,AB为⊙O的直径,∠B=60°,∠C=70°,则∠BOD的度数是度.
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答案解析
分析:
欲求∠BOD的度数,需先求出同弧所对的圆周角∠A的度数;△ABC中,已知了∠B、∠C的度数,由三角形内角和定理即可求得∠A的度数,由此得解.
解答:
△ABC中,∠B=60°,∠C=70°;
∴∠A=180°-∠B-∠C=50°;
∴∠BOD=2∠A=100°.
点评:
此题主要考查了三角形内角和定理及圆周角定理的应用.
如图,在△ABC中,AB为⊙O的直径,∠B=60°,∠C=70°,则∠BOD的度数是度.
分析:
欲求∠BOD的度数,需先求出同弧所对的圆周角∠A的度数;△ABC中,已知了∠B、∠C的度数,由三角形内角和定理即可求得∠A的度数,由此得解.
解答:
△ABC中,∠B=60°,∠C=70°;
∴∠A=180°-∠B-∠C=50°;
∴∠BOD=2∠A=100°.
点评:
此题主要考查了三角形内角和定理及圆周角定理的应用.
如图,AB为⊙O的直径,CD为⊙O的弦,∠ACD=42°,则∠BAD=度.
分析:
连接BD,根据直径所对的圆周角是直角,得∠ADB=90°,根据同弧或等弧所对的圆周角相等,得∠ABD=∠ACD,从而可得到∠BAD的度数.
解答:
解:连接BD,
∵AB为⊙O的直径
∴∠ADB=90°
∵∠ABD=∠ACD=42°
∴∠BAD=48°.
点评:
考查了圆周角定理的推论.在圆中,常见的辅助线之一:构造直径所对的圆周角.
如图,量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合,其中量角器0刻度线的端点N与点A重合,射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转,CP与量角器的半圆弧交于点E,第12秒,点E在量角器上对应的读数是度.
分析:
首先连接OE,由∠ACB=90°,根据圆周角定理,可得点C在⊙O上,即可得∠EOA=2∠ECA,又由∠ECA的度数,继而求得答案.
解答:
解:连接OE,
∵∠ACB=90°,
∴点C在以AB为直径的圆上,
即点C在⊙O上,
∴∠EOA=2∠ECA,
∵∠ECA=3×12°=36°,
∴∠AOE=2∠ECA=2×36°=72°.
故答案是:72.
点评:
此题考查了圆周角定理,此题难度适中,解题的关键是证得点C在⊙O上,注意辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.
如图,点A、B、C、D在⊙O上,O点在∠D的内部,四边形OABC为平行四边形,则∠OAD+∠OCD=°.
分析:
由四边形OABC为平行四边形,根据平行四边形对角相等,即可得∠B=∠AOC,由圆周角定理,可得∠AOC=2∠ADC,又由内接四边形的性质,可得∠B+∠ADC=180°,即可求得∠B=∠AOC=120°,∠ADC=60°,然后又三角形外角的性质,即可求得∠OAD+∠OCD的度数.
解答:
解:连接DO并延长,
∵四边形OABC为平行四边形,
∴∠B=∠AOC,
∵∠AOC=2∠ADC,
∴∠B=2∠ADC,
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,
∴∠B+∠ADC=180°,
∴3∠ADC=180°,
∴∠ADC=60°,
∴∠B=∠AOC=120°,
∵∠1=∠OAD+∠ADO,∠2=∠OCD+∠CDO,
∴∠OAD+∠OCD=(∠1+∠2)-(∠ADO+∠CDO)=∠AOC-∠ADC=120°-60°=60°.
故答案为:60°.
点评:
此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质、平行四边形的性质以及三角形外角的性质.此题难度适中,注意数形结合思想的应用,注意辅助线的作法.
如图,AB为⊙O的直径,点C,D在⊙O上.若∠AOD=30°,则∠BCD的度数是度.
分析:
连接AC,根据圆周角定理,可分别求出∠ACB=90°,∠ACD=15°,即可求∠BCD的度数.
解答:
解:连接AC,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵∠AOD=30°,
∴∠ACD=15°,
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=105°.
点评:
此题主要考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
四边形ABCD为圆O的内接四边形,已知∠BOD=100°,则∠BCD=°或°(按从小到大顺序填写答案).
分析:
先根据圆心角的度数等于它所对弧的度数得到∠BOD=100°,再根据圆周角定理得∠BCD=$\frac {1}{2}$∠BOD=50°,然后根据圆内接四边形的性质求解.
解答:
解:如图
∵弧BAD的度数为100°,
∴∠BOD=100°,
∴∠BCD=$\frac {1}{2}$∠BOD=50°,
∴∠BAD=180°-∠ACD=130°.
同理,当点A是优弧上时,∠BAD=50°
故答案为50°或130°.
点评:
本题考查了圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角互补;圆内接四边形的对边和相等.
如图,若AB是⊙O的直径,AB=10cm,∠CAB=30°,则BC=cm.
分析:
根据圆周角定理可得出△ABC是直角三角形,再由含30°角的直角三角形的性质即可得出BC的长度.
解答:
解:∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
又∵AB=10cm,∠CAB=30°,
∴BC=$\frac {1}{2}$AB=5cm.
故答案为:5.
点评:
本题考查了圆周角定理及含30°角的直角三角形的性质,解答本题的关键是根据圆周角定理判断出∠ACB=90°.
如图,AB是⊙O的直径,点C,D都在⊙O上,连接CA,CB,DC,DB.已知∠D=30°,BC=3,则AB的长是.
分析:
利用直径所对的圆周角是直角得到直角三角形,然后利用同弧所对的圆周角相等,在解直角三角形即可.
解答:
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵∠D=30°,
∴∠A=∠D=30°,
∵BC=3,
∴AB=6.
故答案为:6.
点评:
本题考查了圆周角定理及直角三角形的性质.考查了同学们利用角平分线的性质、圆周角定理、弦切角定理解决问题的能力,有利于培养同学们的发散思维能力.
如图,在⊙O中∠ACB=∠BDC=60°,AC=2$\sqrt {}$,则⊙O的周长是.
分析:
根据圆周角定理,得∠A=∠BDC=60°,从而判断△ABC是等边三角形,再根据等边三角形的性质求得其外接圆的直径,从而求得其周长.
解答:
解:连接OC,作OE⊥AC于E.
∵∠ACB=∠BDC=60°,
∴∠A=∠BDC=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠OCE=30°,CE=$\frac {1}{2}$AC=$\sqrt {}$(垂径定理),
∴OC=$\frac {CE}{cos30°}$=2,
则⊙O的周长是4π.
故答案为4π.
点评:
此题考查了圆周角定理、等边三角形的判定及性质.
注意:等边三角形的外心和内心重合,是它的三边垂直平分线的交点.
如图,在⊙O中,半径为5,∠AOB=60°,则弦长AB=.
分析:
由OA=OB,得△OAB为等边三角形进行解答.
解答:
∵OA=OB=5,∠AOB=60°,
∴△OAB为等边三角形,
故AB=5.
点评:
同圆或等圆的半径相等在解题中是一个重要条件.
已知⊙O的直径AB=8cm,C为⊙O上的一点,∠BAC=30°,则BC=cm.
分析:
根据圆周角定理,可得出∠C=90°;在Rt△ABC中,已知了特殊角∠A的度数和AB的长,易求得BC的长.
解答:
解:∵AB是⊙O的直径,
∴∠C=90°;
在Rt△ACB中,∠A=30°,AB=8cm;
因此BC=$\frac {1}{2}$AB=4cm.
点评:
本题主要考查圆周角定理以及特殊直角三角形的性质.