如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第12秒，点E在量角器上对应的读数是度．
分析：
首先连接OE，由∠ACB=90°，根据圆周角定理，可得点C在⊙O上，即可得∠EOA=2∠ECA，又由∠ECA的度数，继而求得答案．
解答：
解：连接OE，
∵∠ACB=90°，
∴点C在以AB为直径的圆上，
即点C在⊙O上，
∴∠EOA=2∠ECA，
∵∠ECA=3×12°=36°，
∴∠AOE=2∠ECA=2×36°=72°．
故答案是：72．
点评：
此题考查了圆周角定理，此题难度适中，解题的关键是证得点C在⊙O上，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD=°．
分析：
由四边形OABC为平行四边形，根据平行四边形对角相等，即可得∠B=∠AOC，由圆周角定理，可得∠AOC=2∠ADC，又由内接四边形的性质，可得∠B+∠ADC=180°，即可求得∠B=∠AOC=120°，∠ADC=60°，然后又三角形外角的性质，即可求得∠OAD+∠OCD的度数．
解答：
解：连接DO并延长，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴∠B=∠AOC，
∵∠AOC=2∠ADC，
∴∠B=2∠ADC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠ADC=180°，
∴3∠ADC=180°，
∴∠ADC=60°，
∴∠B=∠AOC=120°，
∵∠1=∠OAD+∠ADO，∠2=∠OCD+∠CDO，
∴∠OAD+∠OCD=(∠1+∠2)-(∠ADO+∠CDO)=∠AOC-∠ADC=120°-60°=60°．
故答案为：60°．
点评：
此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质、平行四边形的性质以及三角形外角的性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠AOD=30°，则∠BCD的度数是度．
分析：
连接AC，根据圆周角定理，可分别求出∠ACB=90°，∠ACD=15°，即可求∠BCD的度数．
解答：
解：连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠AOD=30°，
∴∠ACD=15°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=105°．
点评：
此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
四边形ABCD为圆O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD=°或°(按从小到大顺序填写答案)．
分析：
先根据圆心角的度数等于它所对弧的度数得到∠BOD=100°，再根据圆周角定理得∠BCD=$\frac {1}{2}$∠BOD=50°，然后根据圆内接四边形的性质求解．
解答：
解：如图
∵弧BAD的度数为100°，
∴∠BOD=100°，
∴∠BCD=$\frac {1}{2}$∠BOD=50°，
∴∠BAD=180°-∠ACD=130°．
同理，当点A是优弧上时，∠BAD=50°
故答案为50°或130°．
点评：
本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的对边和相等．
如图，若AB是⊙O的直径，AB=10cm，∠CAB=30°，则BC=cm．
分析：
根据圆周角定理可得出△ABC是直角三角形，再由含30°角的直角三角形的性质即可得出BC的长度．
解答：
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵AB=10cm，∠CAB=30°，
∴BC=$\frac {1}{2}$AB=5cm．
故答案为：5．
点评：
本题考查了圆周角定理及含30°角的直角三角形的性质，解答本题的关键是根据圆周角定理判断出∠ACB=90°．
如图，AB是⊙O的直径，点C，D都在⊙O上，连接CA，CB，DC，DB．已知∠D=30°，BC=3，则AB的长是．
分析：
利用直径所对的圆周角是直角得到直角三角形，然后利用同弧所对的圆周角相等，在解直角三角形即可．
解答：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠D=30°，
∴∠A=∠D=30°，
∵BC=3，
∴AB=6．
故答案为：6．
点评：
本题考查了圆周角定理及直角三角形的性质．考查了同学们利用角平分线的性质、圆周角定理、弦切角定理解决问题的能力，有利于培养同学们的发散思维能力．
如图，在⊙O中∠ACB=∠BDC=60°，AC=2$\sqrt {}$，则⊙O的周长是．
分析：
根据圆周角定理，得∠A=∠BDC=60°，从而判断△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的性质求得其外接圆的直径，从而求得其周长．
解答：
解：连接OC，作OE⊥AC于E．
∵∠ACB=∠BDC=60°，
∴∠A=∠BDC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠OCE=30°，CE=$\frac {1}{2}$AC=$\sqrt {}$(垂径定理)，
∴OC=$\frac {CE}{cos30°}$=2，
则⊙O的周长是4π．
故答案为4π．
点评：
此题考查了圆周角定理、等边三角形的判定及性质．
注意：等边三角形的外心和内心重合，是它的三边垂直平分线的交点．
如图，在⊙O中，半径为5，∠AOB=60°，则弦长AB=．
分析：
由OA=OB，得△OAB为等边三角形进行解答．
解答：
∵OA=OB=5，∠AOB=60°，
∴△OAB为等边三角形，
故AB=5．
点评：
同圆或等圆的半径相等在解题中是一个重要条件．
已知⊙O的直径AB=8cm，C为⊙O上的一点，∠BAC=30°，则BC=cm．
分析：
根据圆周角定理，可得出∠C=90°；在Rt△ABC中，已知了特殊角∠A的度数和AB的长，易求得BC的长．
解答：
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°；
在Rt△ACB中，∠A=30°，AB=8cm；
因此BC=$\frac {1}{2}$AB=4cm．
点评：
本题主要考查圆周角定理以及特殊直角三角形的性质．
如图，△ABC的外心坐标是(，)．
分析：
首先由△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂线，两垂线的交点即为△ABC的外心．
解答：
解：∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
∴作图得：
∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐标是(-2，-1)．
故答案为：(-2，-1)．
点评：
此题考查了三角形外心的知识．注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点．解此题的关键是数形结合思想的应用．
如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC=13cm，BC=24cm，则⊙O的半径为(精确到小数点后一位)．
分析：
可通过构建直角三角形进行求解．连接OA，OC，那么OA⊥BC．在直角三角形ACD中，有AC，CD的值，AD就能求出了；在直角三角形ODC中，用半径表示出OD，OC，然后根据勾股定理就能求出半径了．
解答：
解：连接OA交BC于点D，连接OC，OB，
∵AB=AC=13，
∴$\overset{\frown}{AB}$=$\overset{\frown}{AC}$，
∴∠AOB=∠AOC，
∵OB=OC，
∴AO⊥BC，CD=$\frac {1}{2}$BC=12
在Rt△ACD中，
∵AC=13，CD=12
∴AD=$\sqrt {}$=5
设⊙O的半径为r则在Rt△OCD中，OD=r-5，CD=12，OC=r
∴(r-5)_+12_=r_，解得r=16.9．
故答案为：16.9．
点评：
本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．