如图,在⊙O中,半径为5,∠AOB=60°,则弦长AB=.
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答案解析
分析:
由OA=OB,得△OAB为等边三角形进行解答.
解答:
∵OA=OB=5,∠AOB=60°,
∴△OAB为等边三角形,
故AB=5.
点评:
同圆或等圆的半径相等在解题中是一个重要条件.
如图,在⊙O中,半径为5,∠AOB=60°,则弦长AB=.
分析:
由OA=OB,得△OAB为等边三角形进行解答.
解答:
∵OA=OB=5,∠AOB=60°,
∴△OAB为等边三角形,
故AB=5.
点评:
同圆或等圆的半径相等在解题中是一个重要条件.
已知⊙O的直径AB=8cm,C为⊙O上的一点,∠BAC=30°,则BC=cm.
分析:
根据圆周角定理,可得出∠C=90°;在Rt△ABC中,已知了特殊角∠A的度数和AB的长,易求得BC的长.
解答:
解:∵AB是⊙O的直径,
∴∠C=90°;
在Rt△ACB中,∠A=30°,AB=8cm;
因此BC=$\frac {1}{2}$AB=4cm.
点评:
本题主要考查圆周角定理以及特殊直角三角形的性质.
如图,△ABC的外心坐标是(,).
分析:
首先由△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点,所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂线,两垂线的交点即为△ABC的外心.
解答:
解:∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点,
∴作图得:
∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心,
∴△ABC的外心坐标是(-2,-1).
故答案为:(-2,-1).
点评:
此题考查了三角形外心的知识.注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点.解此题的关键是数形结合思想的应用.
如图,⊙O是△ABC的外接圆,且AB=AC=13cm,BC=24cm,则⊙O的半径为(精确到小数点后一位).
分析:
可通过构建直角三角形进行求解.连接OA,OC,那么OA⊥BC.在直角三角形ACD中,有AC,CD的值,AD就能求出了;在直角三角形ODC中,用半径表示出OD,OC,然后根据勾股定理就能求出半径了.
解答:
解:连接OA交BC于点D,连接OC,OB,
∵AB=AC=13,
∴$\overset{\frown}{AB}$=$\overset{\frown}{AC}$,
∴∠AOB=∠AOC,
∵OB=OC,
∴AO⊥BC,CD=$\frac {1}{2}$BC=12
在Rt△ACD中,
∵AC=13,CD=12
∴AD=$\sqrt {}$=5
设⊙O的半径为r则在Rt△OCD中,OD=r-5,CD=12,OC=r
∴(r-5)_+12_=r_,解得r=16.9.
故答案为:16.9.
点评:
本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
如图,⊙O的半径为4cm,直线l⊥OA,垂足为O,则直线l沿射线OA方向平移cm时与⊙O相切.
分析:
直线l与⊙O相切时,直线到圆心的距离等于圆的半径,因而直线l沿射线OA方向平移4cm时与⊙O相切.
解答:
∵直线到圆心的距离等于圆的半径,直线l与⊙相切,
∴直线l沿射线OA方向平移4cm时与⊙O相切.
点评:
本题考查了圆的切线性质,圆心的切线的距离等于圆的半径.
如图,⊙O$_1$的半径为1,正方形ABCD的边长为6,点O$_2$为正方形ABCD中心,O$_1$O$_2$⊥AB于P点,O$_1$O$_2$=8.若将⊙O$_1$绕点P按顺时针方向旋转360°,在旋转过程中,⊙O$_1$与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况共出现次.
分析:
根据⊙O$_1$的半径为1,正方形ABCD的边长为6,点O$_2$为正方形ABCD的中心,O$_1$O$_2$垂直AB于P点,设O$_1$O$_2$交圆O$_1$于M,求出PM=4,得出圆O$_1$与以P为圆心,以4为半径的圆相外切,即可得到答案.
解答:
解:∵⊙O$_1$的半径为1,正方形ABCD的边长为6,点O$_2$为正方形ABCD的中心,O$_1$O$_2$垂直AB于P点,
设O$_1$O$_2$交圆O$_1$于M,
∴PM=8-3-1=4,
圆O$_1$与以P为圆心,以4为半径的圆相外切,
∴有5次,依次是⊙O$_1$在正方形ABCD外,与边AD相切,⊙O$_1$在正方形ABCD内,与边AD相切,⊙O$_1$在正方形ABCD内,与边CD相切,⊙O$_1$在正方形ABCD内,与边CD相切,⊙O$_1$在正方形ABCD外,与边BC相切;
故答案为:5.
点评:
本题主要考查对直线与圆的位置关系,正方形的性质等知识点的理解和掌握,能求出圆的运动路线是解此题的关键.
如图,⊙O的圆心O到直线l的距离为3cm,⊙O的半径为1cm,将直线l向右(垂直于l的方向)平移,使l与⊙O相切,则平移的距离为cm或cm(按从小到大顺序填写答案).
分析:
需要分类讨论:当直线l位于⊙O的左边时,平移的距离=圆心O到直线l的距离-⊙O的半径;②当直线l位于⊙O的右边时,平移的距离=圆心O到直线l的距离+⊙O的半径.
解答:
解:∵圆心O到直线l的距离为3cm,半径为1cm,
∴①当直线与圆在左边相切时,平移距离为:3cm-1cm=2cm,
②当直线与圆在右边相切时,平移距离为:3cm+1cm=4cm.
故答案是:2cm或4cm.
点评:
本题考查的是直线与圆的位置关系.圆与直线相切时,圆与直线的距离等于圆的半径.
如图,已知AB是⊙O的一条直径,延长AB至点C,使AC=3BC,CD与⊙O相切,切点为D,若CD=3$\sqrt {}$,则线段BC=.
分析:
如图,连接DO,首先根据切线的性质可以得到∠ODC=90°,又AC=3BC,O为AB的中点,由此可以得到∠C=30°,接着利用30°的直角所对的直角边是斜边的一半和勾股定理即可求解.
解答:
解:如图,连接DO,
∵CD是⊙O切线,
∴OD⊥CD,
∴∠ODC=90°,
而AB是⊙O的一条直径,AC=3BC,
∴AB=2BC=OC=2OD,
∴∠C=30°,
∴OD=$\sqrt {}$3CD,
∵CD=3$\sqrt {}$,
∴OD=BC=3,
故答案为:3.
点评:
本题考查了圆的切线性质及解直角三角形的知识.运用切线的性质来进行计算或论证,常通过作辅助线连接圆心和切点,利用垂直构造直角三角形解决有关问题
如图,△ABC为等边三角形,AB=6,动点O在△ABC的边上从点A出发沿着A→C→B→A的路线匀速运动一周,速度为1个长度单位每秒,以O为圆心、$\sqrt {}$为半径的圆在运动过程中与△ABC的边第二次相切时是出发后第秒.
分析:
若以O为圆心、$\sqrt {}$为半径的圆在运动过程中与△ABC的边第二次相切,即为当点O在AC上,且和BC边相切的情况.作O′D⊥BC于D,则O′D=$\sqrt {}$,利用解直角三角形的知识,进一步求得O′C=2,从而求得O′A的长,进一步求得运动时间.
解答:
解:根据题意,则作O′D⊥BC于D,则O′D=$\sqrt {}$.
在Rt△O′CD中,∠C=60°,O′D=$\sqrt {}$,
∴O′C=2,
∴O′A=6-2=4,
∴以O为圆心、$\sqrt {}$为半径的圆在运动过程中与△ABC的边第二次相切时是出发后第4秒.
故答案为:4.
点评:
此题考查了直线和圆相切时数量之间的关系,能够正确分析出以O为圆心、$\sqrt {}$为半径的圆在运动过程中与△ABC的边第二次相切时的位置.
如图,⊙O的直径AB=4,C为圆周上一点,AC=2,过点C作⊙O的切线l,过点B作l的垂线BD,垂足为D,BD与⊙O交于点E.则∠AEC=°.
分析:
由直径AB的长,求出半径OA及OC的长,再由AC的长,得到三角形OAC三边相等,可得此三角形为等边三角形,根据等边三角形的性质得到∠AOC=60°,再根据同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍,即可得出∠AEC的度数.
解答:
解:∵OA=OC=$\frac {1}{2}$AB=2,AC=2,
∴OA=OC=AC,
∴△OAC为等边三角形,
∴∠AOC=60°,
∵圆周角∠AEC与圆心角∠AOC都对弧$\overset{\frown}{AC}$,
∴∠AEC=$\frac {1}{2}$∠AOC=30°
点评:
此题考查了切线的性质,等边三角形的判定与性质,圆周角定理,平行线的判定与性质,平行四边形及菱形的判定,是一道综合性较强的试题,学生做题时应结合图形,弄清题中的条件,找出已知与未知间的联系来解决问题.熟练掌握性质及判定是解本题的关键.
已知圆O的半径为5,AB是圆O的直径,D是AB延长线上一点,DC是圆O的切线,C是切点,连接AC,若∠CAB=30°,则BD的长为.
分析:
先利用“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”得出∠COD=2∠A=60°再解直角三角形可得CD长,最后用切割线定理可得BD长.
解答:
解:连接OC,BC,
∵AB是圆O的直径,DC是圆O的切线,C是切点,
∴∠ACB=∠OCD=90°,
∵∠CAB=30°,
∴∠COD=2∠A=60°,CD=OC•tan∠COD=5$\sqrt {3}$,
由切割线定理得,CD_=BD•AD=BD(BD+AB),
∴BD=5.
故答案为:5.
点评:
本题利用了直径对的圆周角是直角,切线的性质,切割线定理等.