如图,若AB是⊙O的直径,AB=10cm,∠CAB=30°,则BC=cm.
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答案解析
分析:
根据圆周角定理可得出△ABC是直角三角形,再由含30°角的直角三角形的性质即可得出BC的长度.
解答:
解:∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
又∵AB=10cm,∠CAB=30°,
∴BC=$\frac {1}{2}$AB=5cm.
故答案为:5.
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本题考查了圆周角定理及含30°角的直角三角形的性质,解答本题的关键是根据圆周角定理判断出∠ACB=90°.
如图,若AB是⊙O的直径,AB=10cm,∠CAB=30°,则BC=cm.
分析:
根据圆周角定理可得出△ABC是直角三角形,再由含30°角的直角三角形的性质即可得出BC的长度.
解答:
解:∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
又∵AB=10cm,∠CAB=30°,
∴BC=$\frac {1}{2}$AB=5cm.
故答案为:5.
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本题考查了圆周角定理及含30°角的直角三角形的性质,解答本题的关键是根据圆周角定理判断出∠ACB=90°.
如图,AB是⊙O的直径,点C,D都在⊙O上,连接CA,CB,DC,DB.已知∠D=30°,BC=3,则AB的长是.
分析:
利用直径所对的圆周角是直角得到直角三角形,然后利用同弧所对的圆周角相等,在解直角三角形即可.
解答:
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵∠D=30°,
∴∠A=∠D=30°,
∵BC=3,
∴AB=6.
故答案为:6.
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本题考查了圆周角定理及直角三角形的性质.考查了同学们利用角平分线的性质、圆周角定理、弦切角定理解决问题的能力,有利于培养同学们的发散思维能力.
如图,在⊙O中∠ACB=∠BDC=60°,AC=2$\sqrt {}$,则⊙O的周长是.
分析:
根据圆周角定理,得∠A=∠BDC=60°,从而判断△ABC是等边三角形,再根据等边三角形的性质求得其外接圆的直径,从而求得其周长.
解答:
解:连接OC,作OE⊥AC于E.
∵∠ACB=∠BDC=60°,
∴∠A=∠BDC=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠OCE=30°,CE=$\frac {1}{2}$AC=$\sqrt {}$(垂径定理),
∴OC=$\frac {CE}{cos30°}$=2,
则⊙O的周长是4π.
故答案为4π.
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此题考查了圆周角定理、等边三角形的判定及性质.
注意:等边三角形的外心和内心重合,是它的三边垂直平分线的交点.
如图,在⊙O中,半径为5,∠AOB=60°,则弦长AB=.
分析:
由OA=OB,得△OAB为等边三角形进行解答.
解答:
∵OA=OB=5,∠AOB=60°,
∴△OAB为等边三角形,
故AB=5.
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同圆或等圆的半径相等在解题中是一个重要条件.
已知⊙O的直径AB=8cm,C为⊙O上的一点,∠BAC=30°,则BC=cm.
分析:
根据圆周角定理,可得出∠C=90°;在Rt△ABC中,已知了特殊角∠A的度数和AB的长,易求得BC的长.
解答:
解:∵AB是⊙O的直径,
∴∠C=90°;
在Rt△ACB中,∠A=30°,AB=8cm;
因此BC=$\frac {1}{2}$AB=4cm.
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本题主要考查圆周角定理以及特殊直角三角形的性质.
如图,△ABC的外心坐标是(,).
分析:
首先由△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点,所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂线,两垂线的交点即为△ABC的外心.
解答:
解:∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点,
∴作图得:
∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心,
∴△ABC的外心坐标是(-2,-1).
故答案为:(-2,-1).
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此题考查了三角形外心的知识.注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点.解此题的关键是数形结合思想的应用.
如图,⊙O是△ABC的外接圆,且AB=AC=13cm,BC=24cm,则⊙O的半径为(精确到小数点后一位).
分析:
可通过构建直角三角形进行求解.连接OA,OC,那么OA⊥BC.在直角三角形ACD中,有AC,CD的值,AD就能求出了;在直角三角形ODC中,用半径表示出OD,OC,然后根据勾股定理就能求出半径了.
解答:
解:连接OA交BC于点D,连接OC,OB,
∵AB=AC=13,
∴$\overset{\frown}{AB}$=$\overset{\frown}{AC}$,
∴∠AOB=∠AOC,
∵OB=OC,
∴AO⊥BC,CD=$\frac {1}{2}$BC=12
在Rt△ACD中,
∵AC=13,CD=12
∴AD=$\sqrt {}$=5
设⊙O的半径为r则在Rt△OCD中,OD=r-5,CD=12,OC=r
∴(r-5)_+12_=r_,解得r=16.9.
故答案为:16.9.
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本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
如图,⊙O的半径为4cm,直线l⊥OA,垂足为O,则直线l沿射线OA方向平移cm时与⊙O相切.
分析:
直线l与⊙O相切时,直线到圆心的距离等于圆的半径,因而直线l沿射线OA方向平移4cm时与⊙O相切.
解答:
∵直线到圆心的距离等于圆的半径,直线l与⊙相切,
∴直线l沿射线OA方向平移4cm时与⊙O相切.
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本题考查了圆的切线性质,圆心的切线的距离等于圆的半径.
如图,⊙O$_1$的半径为1,正方形ABCD的边长为6,点O$_2$为正方形ABCD中心,O$_1$O$_2$⊥AB于P点,O$_1$O$_2$=8.若将⊙O$_1$绕点P按顺时针方向旋转360°,在旋转过程中,⊙O$_1$与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况共出现次.
分析:
根据⊙O$_1$的半径为1,正方形ABCD的边长为6,点O$_2$为正方形ABCD的中心,O$_1$O$_2$垂直AB于P点,设O$_1$O$_2$交圆O$_1$于M,求出PM=4,得出圆O$_1$与以P为圆心,以4为半径的圆相外切,即可得到答案.
解答:
解:∵⊙O$_1$的半径为1,正方形ABCD的边长为6,点O$_2$为正方形ABCD的中心,O$_1$O$_2$垂直AB于P点,
设O$_1$O$_2$交圆O$_1$于M,
∴PM=8-3-1=4,
圆O$_1$与以P为圆心,以4为半径的圆相外切,
∴有5次,依次是⊙O$_1$在正方形ABCD外,与边AD相切,⊙O$_1$在正方形ABCD内,与边AD相切,⊙O$_1$在正方形ABCD内,与边CD相切,⊙O$_1$在正方形ABCD内,与边CD相切,⊙O$_1$在正方形ABCD外,与边BC相切;
故答案为:5.
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本题主要考查对直线与圆的位置关系,正方形的性质等知识点的理解和掌握,能求出圆的运动路线是解此题的关键.
如图,⊙O的圆心O到直线l的距离为3cm,⊙O的半径为1cm,将直线l向右(垂直于l的方向)平移,使l与⊙O相切,则平移的距离为cm或cm(按从小到大顺序填写答案).
分析:
需要分类讨论:当直线l位于⊙O的左边时,平移的距离=圆心O到直线l的距离-⊙O的半径;②当直线l位于⊙O的右边时,平移的距离=圆心O到直线l的距离+⊙O的半径.
解答:
解:∵圆心O到直线l的距离为3cm,半径为1cm,
∴①当直线与圆在左边相切时,平移距离为:3cm-1cm=2cm,
②当直线与圆在右边相切时,平移距离为:3cm+1cm=4cm.
故答案是:2cm或4cm.
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本题考查的是直线与圆的位置关系.圆与直线相切时,圆与直线的距离等于圆的半径.
如图,已知AB是⊙O的一条直径,延长AB至点C,使AC=3BC,CD与⊙O相切,切点为D,若CD=3$\sqrt {}$,则线段BC=.
分析:
如图,连接DO,首先根据切线的性质可以得到∠ODC=90°,又AC=3BC,O为AB的中点,由此可以得到∠C=30°,接着利用30°的直角所对的直角边是斜边的一半和勾股定理即可求解.
解答:
解:如图,连接DO,
∵CD是⊙O切线,
∴OD⊥CD,
∴∠ODC=90°,
而AB是⊙O的一条直径,AC=3BC,
∴AB=2BC=OC=2OD,
∴∠C=30°,
∴OD=$\sqrt {}$3CD,
∵CD=3$\sqrt {}$,
∴OD=BC=3,
故答案为:3.
点评:
本题考查了圆的切线性质及解直角三角形的知识.运用切线的性质来进行计算或论证,常通过作辅助线连接圆心和切点,利用垂直构造直角三角形解决有关问题