如图，河流两岸a、b互相平行，点A、B是河岸a上的两座建筑物，点C、D是河岸b上的两点，A、B的距离约为200米．某人在河岸b上的点P处测得∠APC=75°，∠BPD=30°，则河流的宽度约为米．
分析：
过点P作PE⊥AB于点E，先求出∠APE及∠BPE、∠ABP的度数，由锐角三角函数的定义即可得出结论．
解答：
解：过点P作PE⊥AB于点E，
∵∠APC=75°，∠BPD=30°，
∴∠APB=75°，
∵∠BAP=∠APC=75°，
∴∠APB=∠BAP，
∴AB=PB=200m，
∵∠ABP=30°，
∴PE=$\frac {1}{2}$PB=100m．
故答案为：100．
点评：
本题考查的是解直角三角形的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象．已知A、B两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，生命所在点C的深度为米．(精确到0.1米，参考数据：$\sqrt {2}$≈1.41，$\sqrt {3}$≈1.73)
分析：
过点C作CD⊥AB于点D，设CD=x，在Rt△ACD中表示出AD，在Rt△BCD中表示出BD，再由AB=4米，即可得出关于x的方程，解出即可．
解答：
解：过点C作CD⊥AB于点D，
设CD=x，
在Rt△ACD中，∠CAD=30°，
则AD=CD•cos30°=$\sqrt {3}$CD=$\sqrt {3}$x，
在Rt△BCD中，∠CBD=45°，
则BD=CD=x，
由题意得，$\sqrt {3}$x-x=4，
解得：x=$\frac {4}{$\sqrt {3}$-1}$=2($\sqrt {3}$+1)≈5.5．
答：生命所在点C的深度为5.5米．
点评：
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数知识表示出相关线段的长度，注意方程思想的运用．
如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向，又航行了半小时到达C处，望见渔船D在南偏东60°方向，若海监船的速度为50海里/小时，则A，B之间的距离为海里(取$\sqrt {}$≈1.7，结果精确到0.1海里)．
分析：
过点D作DE⊥AB于点E，设DE=x，在Rt△CDE中表示出CE，在Rt△BDE中表示出BE，再由CB=25海里，可得出关于x的方程，解出后即可计算AB的长度．
解答：
解：∵∠DBA=∠DAB=45°，
∴△DAB是等腰直角三角形，
过点D作DE⊥AB于点E，则DE=$\frac {1}{2}$AB，
设DE=x，则AB=2x，
在Rt△CDE中，∠DCE=30°，
则CE=$\sqrt {3}$DE=$\sqrt {3}$x，
在Rt△BDE中，∠DAE=45°，
则DE=BE=x，
由题意得，CB=CE-BE=$\sqrt {3}$x-x=25，
解得：x=$\frac {25($\sqrt {3}$+1)}{2}$，
故AB=25($\sqrt {3}$+1)=67.5(海里)．
故答案为：67.5．
点评：
本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度，难度一般．
如图所示(左图为实景侧视图，右图为安装示意图)，在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB和CD(均与水平面垂直)，再将集热板安装在AD上．为使集热板吸热率更高，公司规定：AD与水平线夹角为θ$_1$，且在水平线上的射影AF为1.4m．现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为θ$_2$，并已知tanθ$_1$=1.082，tanθ$_2$=0.412．如果安装工人已确定支架AB高为25cm，支架CD的高为cm．(结果精确到1cm)
分析：
过A作AE∥BC，则∠EAF=∠CBG=θ$_2$，EC=AB=25cm，再根据锐角三角函数的定义用θ$_1$、θ$_2$表示出DF、EF的值，再根据DC=DE+EC进行解答即可．
解答：
解：如图所示，过A作AE∥BC，则∠EAF=∠CBG=θ$_2$，EC=AB=25cm
∵Rt△DAF中：∠DAF=θ$_1$，DF=AFtanθ$_1$，
Rt△EAF中：∠EAF=θ$_2$，EF=AFtanθ$_2$，
∴DE=DF-EF=AF(tanθ$_1$-tanθ$_2$)
又∵AF=140cm，tanθ$_1$=1.082，tanθ$_2$=0.412，
∴DE=140×(1.082-0.412)=93.8，
∴DC=DE+EC=93.8+25=118.8 cm≈119cm．
答：支架DC的高应为119cm．
点评：
本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义进行解答是解答此题的关键．
如图，兰兰站在河岸上的G点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C的俯角是∠FDC=30°，若兰兰的眼睛与地面的距离是1.5米，BG=1米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i=4：3，坡长AB=10米，小船C到岸边的距离CA=m．(参考数据：$\sqrt {}$=1.73，结果保留两位有效数字)
分析：
把AB和CD都整理为直角三角形的斜边，利用坡度和勾股定理易得点B和点D到水面的距离，进而利用俯角的正切值可求得CH长度．CH-AE=EH即为AC长度．
解答：
解：过点B作BE⊥AC于点E，延长DG交CA于点H，得Rt△ABE和矩形BEHG．
i=$\frac {BE}{AE}$=$\frac {4}{3}$，AB=10，
∴BE=8，AE=6．
∵DG=1.5，BG=1，
∴DH=DG+GH=1.5+8=9.5，
AH=AE+EH=6+1=7．
在Rt△CDH中，
∵∠C=∠FDC=30°，DH=9.5，tan30°=$\frac {DH}{CH}$，
∴CH=9.5$\sqrt {3}$．
又∵CH=CA+7，
即9.5$\sqrt {3}$=CA+7，
∴CA≈9.435≈9.4(米)．
答：CA的长约是9.4米．
点评：
构造所给坡度和所给锐角所在的直角三角形是解决问题的难点，利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度是解决问题的关键．
正在修建的恩黔高速公路某处需要打通一条隧道，工作人员为初步估算隧道的长度．现利用勘测飞机在与A的相对高度为1500米的高空C处测得隧道进口A处和隧道出口B处的俯角分别为53°和45°(隧道进口A和隧道出口B在同一海拔高度)，隧道
AB的长为m．(参考数据：sin53°=$\frac {4}{5}$，tan53°=$\frac {4}{3}$)
分析：
根据题意得出CD=1500m，∠CAD=53°，∠CBD=45°，即可得出CD=BD，以及利用解直角三角形求出即可．
解答：
解：作CD⊥AB，
∵勘测飞机在与A的相对高度为1500米的高空C处测得隧道进口A处和隧道出口B处的俯角分别为53°和45°，
∴CD=1500m，∠CAD=53°，
∠CBD=45°，
∴tan53°=$\frac {4}{3}$=$\frac {CD}{AD}$=$\frac {1500}{AD}$，
∴AD=1125m，
CD=BD=1500m，
∴AB=1125+1500=2625m．
答：隧道AB的长为2625m．
点评：
此题主要考查了仰角与俯角问题，此题型是中考中热点题型，同学们应学会从已知中得出线段与角的大小关系是解决问题的关键．
已知，在△ABC中，∠A=45°，AC=$\sqrt {}$，AB=$\sqrt {}$+1，则边BC的长为．
分析：
作CD⊥AB于点D．构造直角三角形求解．
解答：
解：作CD⊥AB于点D．
∵∠A=45°，AC=$\sqrt {2}$，∠ACD=45°，
设AD=x，则CD=x．
由勾股定理得2x_=2，
x=1．
∵AB=$\sqrt {3}$+1，
∴BD=$\sqrt {3}$．
在Rt△BCD中，
BC_=BD_+CD_，
∴BC=$\sqrt {}$=2．
点评：
本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．
如图，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△A′B′C′，使点B′与C重合，连接A′B，则tan∠A′BC′的值为．
分析：
tan∠A'BC'的值，根据三角函数的定义可以转化为直角三角形的边长的比来求．因而过A′作出A′D⊥BC′，垂足为D．在直角△A′BD中，根据三角函数的定义就可以求解．
解答：
解：过A′作出A′D⊥BC′，垂足为D．在等腰直角三角形A′B′C′中，则A′D是底边上的中线，
∴A′D=B′D=$\frac {B′C′}{2}$．
∵BC=B′C′，
∴tan∠A'BC'=$\frac {A′D}{BD}$=$\frac {A′D}{BC+B′D}$=$\frac {1}{3}$．
点评：
本题利用了等腰直角三角形中，底边上的高与底边上的中线重合和直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半．
如图，已知直线l$_1$∥l$_2$∥$_3$∥l$_4$，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则tanα=．
分析：
根据正方形的性质就可以得出AE=$\frac {1}{2}$AD，由平行线的性质就可以得出∠α=∠ADE，就可以求出结论．
解答：
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=AB，∠A=90°．
∵l$_1$∥l$_2$∥$_3$∥l$_4$，相邻两条平行直线间的距离都是1，
∴AE=$\frac {1}{2}$AB，∠α=∠ADE．
∴AE=$\frac {1}{2}$AD．
∴$\frac {AE}{AD}$=$\frac {1}{2}$．
∵tan∠ADE=$\frac {AE}{AD}$，
∴tanα=$\frac {AE}{AD}$，
∴tanα=$\frac {1}{2}$．
故答案为：$\frac {1}{2}$
点评：
本题考查了平行线等分线段定理的运用，正方形的性质的运用，三角函数值的运用，解答时运用平行线等分线段定理求解是关键．
如图，图1是某仓库的实物图片，图2是该仓库屋顶(虚线部分)的正面示意图，BE、CF关于AD轴对称，且AD、BE、CF都与EF垂直，AD=3米，在B点测得A点的仰角为30°，在E点测得D点的仰角为20°，EF=6米，则BE=米．
(结果精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，$\sqrt {}$≈1.73)
分析：
延长AD交EF于点M，过B作BN⊥AD于点N，可证四边形BEMN为矩形，分别在Rt△ABN和Rt△DEM中求出AN、DM的长度，即可求得BE=MN=AD-AN+DM的长度．
解答：
解：延长AD交EF于点M，过B作BN⊥AD于点N，
∵BE、CF关于AD轴对称，且AD、BE、CF都与EF垂直，
∴四边形BEMN为矩形，EM=MF=$\frac {1}{2}$EF=3米，
∴BN=EM=3米，BE=MN，
在Rt△ABN中，
∵∠ABN=30°，BN=3米，$\frac {AN}{BN}$=tan30°，
∴AN=BNtan30°=3×$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$=$\sqrt {3}$(米)，
在Rt△DEM中，
∵∠DEM=20°，EM=3米，$\frac {DM}{EM}$=tan20°，
∴DM=EMtan20°≈3×0.36=1.08(米)，
∴BE=MN=(AD-AN)+DM=3-$\sqrt {3}$+1.08≈3-1.73+1.08=2.35≈2.4(米)．
答：BE的长度约为2.4米．
点评：
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角的知识构造直角三角形，运用解直角三角形的知识分别求出AN、DM的长度，难度适中．
如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机预测量一岛屿两端A、B的距离，飞机在距海平面垂直高度为100米的点C处测得端点A的俯角为60°，然后沿着平行于AB的方向水平飞行了500米，在点D测得端点B的俯角为45°，岛屿两端A、B的距离为米．(结果精确到0.1米，参考数据：$\sqrt {}$≈1.73，$\sqrt {}$≈1.41)
分析：
首先过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，易得四边形ABFE为矩形，根据矩形的性质，可得AB=EF，AE=BF．由题意可知：AE=BF=100米，CD=500米，然后分别在Rt△AEC与Rt△BFD中，利用三角函数即可求得CE与DF的长，继而求得岛屿两端A、B的距离．
解答：
解：过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，
∵AB∥CD，
∴∠AEF=∠EFB=∠ABF=90°，
∴四边形ABFE为矩形．
∴AB=EF，AE=BF．
由题意可知：AE=BF=100米，CD=500米．…2分
在Rt△AEC中，∠C=60°，AE=100米．
∴CE=$\frac {AE}{tan60°}$=$\frac {100}{$\sqrt {3}$}$=$\frac {100}{3}$$\sqrt {3}$(米)． …4分
在Rt△BFD中，∠BDF=45°，BF=100米．
∴DF=$\frac {BF}{tan45°}$=$\frac {100}{1}$=100(米)．…6分
∴AB=EF=CD+DF-CE=500+100-$\frac {100}{3}$$\sqrt {3}$≈600-$\frac {100}{3}$×1.73≈600-57.67≈542.3(米)． …8分
答：岛屿两端A、B的距离为542.3米． …9分
点评：
此题考查了俯角的定义、解直角三角形与矩形的性质．注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．