如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是：．
分析：
由五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，可得五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，又由OA=10cm，OA′=20cm，即可求得其相似比，根据相似多边形的周长的比等于其相似比，即可求得答案．
解答：
∵五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，OA=10cm，OA′=20cm，
∴五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，且相似比为：OA：OA′=10：20=1：2，
∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比为：OA：OA′=1：2．
故答案为：1：2．
点评：
此题考查了多边形位似的知识．注意位似是相似的特殊形式与相似多边形的周长的比等于其相似比知识的应用．
如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且位似比是1：2，若AB=2cm，则A′B′=cm．
分析：
根据△ABC与△A′B′C′是位似图形，可知△ABC∽△A′B′C′，利用位似比是1：2，即可求得A′B′=4cm．
解答：
解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形
∴△ABC∽△A′B′C′
∵位似比是1：2
∴AB：A′B′=1：2
∵AB=2cm
∴A′B′=4cm．
位似中心如图点O．
点评：
本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比．
如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若△ABC与△A$_1$B$_1$C$_1$是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是(，)．
分析：
连接任意两对对应点，看连线的交点为那一点即为位似中心．
解答：
解：连接BB$_1$，A$_1$A，易得交点为(9，0)．
点评：
用到的知识点为：位似中心为位似图形上任意两对对应点连线的交点．
三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成影子(如图所示)．现测得OA=20cm，OA′=50cm，这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是：．
分析：
由题意知三角尺与其影子相似，它们周长的比就等于相似比．
解答：
解：∵$\frac {OA}{OA′}$$\frac {20}{50}$$\frac {2}{5}$，
∴三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是$\frac {2}{5}$．
点评：
本题考查相似三角形的性质，相似三角形的周长的比等于相似比．
如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，已知AB=4，则DE的长为．
分析：
位似图形就是特殊的相似图形位似比等于相似比．利用相似三角形的性质即可求解．
解答：
∵△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，
∴AB：DE=2：3，
∴DE=6．
故答案为：6．
点评：
本题主要考查位似的定义．解题的关键是掌握位似图形是相似图形的特殊形式，位似比等于相似比的特点．
在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠AED=∠B，如果AE=2，△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，那么AB的长为．
分析：
由∠AED=∠B，∠A是公共角，根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得△ADE∽△ACB，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得$\frac {S_△ADE}{S_△ABC}$=($\frac {AE}{AB}$)_，然后由AE=2，△ADE的面积为4，四边形BCDE的面积为5，即可求得AB的长．
解答：
解：∵∠AED=∠B，∠A是公共角，
∴△ADE∽△ACB，
∴$\frac {S_△ADE}{S_△ABC}$=($\frac {AE}{AB}$)_，
∵△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，
∴△ABC的面积为9，
∵AE=2，
∴$\frac {4}{9}$=($\frac {2}{AB}$)_，
解得：AB=3．
故答案为：3．
点评：
此题考查了相似三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握有两角对应相等的三角形相似与相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用．
如图所示，等腰梯形ABCD中，DC∥AB，对角线AC与BD交于点O，AD=DC，AC=BD=AB．若∠ABD=α，则α=°．
分析：
根据DC∥AB，AD=DC，可以得到∠DAC=∠BAC，又等腰梯形ABCD中∠BAC=∠ABD，在等腰△ABD中，BD=AB利用三角形内角和定理列式求解即可．
解答：
解：∵DC∥AB，
∴∠DCA=∠CAB，
∵AD=DC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴∠DAC=∠CAB，
∴∠DAB=2∠CAB=2α，
在等腰梯形ABCD中，∠CAB=∠ABD=α，
又∵BD=AB，
∴∠DAB=∠ADB，
∴在△ABD中，
α+2×2α=180°，
解得α=36°．
点评：
考查等腰梯形的性质，利用等边对等角的性质推出角的关系再利用三角形内角和定理求出角是解题的关键．
如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，BD⊥DC，垂足分别为E，D，DE=3，BD=5，则腰长AB=．
分析：
利用勾股定理列式求出BE的长，再利用∠CBD的正切值列式求出CD，然后根据等腰梯形的腰长相等解答．
解答：
解：∵DE=3，BD=5，DE⊥BC，
∴BE=$\sqrt {}$=$\sqrt {}$=4，
又∵BD⊥DC，
∴tan∠CBD=$\frac {CD}{BD}$=$\frac {DE}{BE}$，
即$\frac {CD}{5}$=$\frac {3}{4}$，
解得CD=$\frac {15}{4}$，
∵梯形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，
∴AB=CD=$\frac {15}{4}$．
故答案为：$\frac {15}{4}$．
点评：
本题考查了等腰梯形的两腰相等，勾股定理的应用，利用锐角三角函数求解更加简便．
如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为m．
分析：
根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△CDF，进而可得$\frac {ED}{DC}$=$\frac {DC}{FD}$；即DC_=ED•FD，代入数据可得答案．
解答：
解：如图：过点C作CD⊥EF，
由题意得：△EFC是直角三角形，∠ECF=90°，
∴∠EDC=∠CDF=90°，
∴∠E+∠ECD=∠ECD+∠DCF=90°，
∴∠E=∠DCF，
∴Rt△EDC∽Rt△CDF，
有$\frac {ED}{DC}$=$\frac {DC}{FD}$；即DC_=ED•FD，
代入数据可得DC_=16，
DC=4；
故答案为：4．
点评：
本题通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小；是平行投影性质在实际生活中的应用．
如图，在边长为10cm的正方形ABCD中，P为AB边上任意一点(P不与A、B两点重合)，连结DP，过点P作PE⊥DP，垂足为P，交BC于点E，则BE的最大长度为cm．
分析：
设AP=x，BE=y．通过△ABP∽△PCQ的对应边成比例得到$\frac {AD}{BP}$=$\frac {AP}{BE}$，所以$\frac {10}{10-x}$=$\frac {x}{y}$，即y=-$\frac {1}{10}$x+x．利用“配方法”求该函数的最大值．
解答：
解：设AP=x，BE=y．
如图，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°
∵PE⊥DP，
∴∠2+∠3=90°，∠1+∠2=90°
∴∠1=∠3，
∴△ADP∽△BPE，
∴$\frac {AD}{BP}$=$\frac {AP}{BE}$，即$\frac {10}{10-x}$=$\frac {x}{y}$，
∴y=-$\frac {1}{10}$x+x=-$\frac {1}{10}$(x-5)_+$\frac {5}{2}$(0＜x＜10)；
∴当x=5时，y有最大值$\frac {5}{2}$．
故答案是：$\frac {5}{2}$．
点评：
本题主要考查正方形的性质和二次函数的应用，关键在于理解题意运用三角形的相似性质求出y与x之间的函数关系，求最大值时，运用到“配方法”．
如图，正方形ABCD的边长为4，E、F分别是BC、CD上的两个动点，且AE⊥EF．则AF的最小值是．
分析：
设BE=x，则EC=4-x，先利用等角的余角相等得到∠BAE=∠FEC，则可判断Rt△ABE∽Rt△ECF，利用相似比可表示出FC=$\frac {x(4-x)}{4}$，则DF=4-FC=4-$\frac {x(4-x)}{4}$=$\frac {1}{4}$x-x+4=$\frac {1}{4}$(x-2)_+3，所以x=2时，DF有最小值3，而AF_=AD_+DF_，即DF最小时，AF最小，AF的最小值为$\sqrt {}$=5．
解答：
解：设BE=x，则EC=4-x，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
而∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
∴Rt△ABE∽Rt△ECF，
∴$\frac {AB}{EC}$=$\frac {BE}{FC}$，即$\frac {4}{4-x}$=$\frac {x}{FC}$，解得FC=$\frac {x(4-x)}{4}$，
∴DF=4-FC=4-$\frac {x(4-x)}{4}$=$\frac {1}{4}$x-x+4=$\frac {1}{4}$(x-2)_+3
当x=2时，DF有最小值3，
∵AF_=AD_+DF_，
∴AF的最小值为$\sqrt {}$=5．
故答案为：5．
点评：
本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组对应边的比相等，并且它们的夹角也相等，那么这两个三角形相似；相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．也考查了正方形的性质以及二次函数的最值问题．