如图,对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1,0),(3,0)两点,则它的对称轴为直线x=.
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答案解析
分析:
点(1,0),(3,0)的纵坐标相同,这两点一定关于对称轴对称,那么利用两点的横坐标可求对称轴.
解答:
∵点(1,0),(3,0)的纵坐标相同,
∴这两点一定关于对称轴对称,
∴对称轴是:x=$\frac {1+3}{2}$=2.
故答案为:直线x=2.
点评:
本题主要考查了抛物线的对称性,图象上两点的纵坐标相同,则这两点一定关于对称轴对称.
如图,对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1,0),(3,0)两点,则它的对称轴为直线x=.
分析:
点(1,0),(3,0)的纵坐标相同,这两点一定关于对称轴对称,那么利用两点的横坐标可求对称轴.
解答:
∵点(1,0),(3,0)的纵坐标相同,
∴这两点一定关于对称轴对称,
∴对称轴是:x=$\frac {1+3}{2}$=2.
故答案为:直线x=2.
点评:
本题主要考查了抛物线的对称性,图象上两点的纵坐标相同,则这两点一定关于对称轴对称.
已知x=2m+n+2和x=m+2n时,多项式x+4x+6的值相等,且m-n+2≠0,则当x=3(m+n+1)时,多项式x+4x+6的值等于.
分析:
先将x=2m+n+2和x=m+2n时,多项式x+4x+6的值相等理解为x=2m+n+2和x=m+2n时,二次函数y=x+4x+6的值相等,则抛物线的对称轴为直线x=$\frac {3m+3n+2}{2}$,又二次函数y=x+4x+6的对称轴为直线x=-2,得出$\frac {3m+3n+2}{2}$=-2,化简得m+n=-2,即可求出当x=3(m+n+1)=3(-2+1)=-3时,x+4x+6的值.
解答:
解:∵x=2m+n+2和x=m+2n时,多项式x+4x+6的值相等,
∴二次函数y=x+4x+6的对称轴为直线x=$\frac {2m+n+2+m+2n}{2}$=$\frac {3m+3n+2}{2}$,
又∵二次函数y=x+4x+6的对称轴为直线x=-2,
∴$\frac {3m+3n+2}{2}$=-2,
∴3m+3n+2=-4,m+n=-2,
∴当x=3(m+n+1)=3(-2+1)=-3时,
x+4x+6=(-3)_+4×(-3)+6=3.
故答案为3.
点评:
本题考查了二次函数的性质及多项式求值,难度中等.将x=2m+n+2和x=m+2n时,多项式x+4x+6的值相等理解为x=2m+n+2和x=m+2n时,二次函数y=x+4x+6的值相等是解题的关键.
函数y=(x-2)(3-x)取得最大值时,x=.
分析:
先把二次函数化为一般式或顶点式的形式,再求其最值即可.
解答:
解:原二次函数可化为y=-x+5x-6=-(x-$\frac {5}{2}$)_+$\frac {1}{4}$,取得最大值时x=-$\frac {b}{2a}$=$\frac {5}{2}$.
点评:
求二次函数的最大(小)值有三种方法,第一种可由图象直接得出,第二种是配方法,第三种是公式法.
y=ax+bx+c过点A(-1,0),B(3,0),则此抛物线的对称轴是直线x=.
分析:
根据点A、B的纵坐标相等,利用二次函数的对称性列式计算即可得解.
解答:
解:∵点A(-1,0),B(3,0)纵坐标都是0,
∴此抛物线的对称轴是直线x=$\frac {-1+3}{2}$=1.
故答案为:1.
点评:
本题考查了二次函数的性质,主要利用了二次函数的对称,关键在于观察出点A、B的纵坐标相同.
二次函数y=-(x-1)(x+3)的对称轴是直线x=.
分析:
利用配方法或抛物线的对称轴的公式即可求解.
解答:
解:y=-(x-1)(x+3),
=-(x+2x-3),
=-(x+2x+1-4),
=-(x+1)_+4,
对称轴为x=-1,
故答案为:x=-1.
点评:
此题主要考查了求抛物线的对称轴,既可以利用配方法,也可以利用对称轴的公式解决问题.
抛物线y=(x-1)(x+5)的对称轴是:直线x=.
分析:
令y=0求出抛物线与x轴的两交点坐标,找出两交点的中点横坐标,即可确定出抛物线对称轴.
解答:
解:令y=0,得到x=1或-5,
∵$\frac {1-5}{2}$=-2,
则抛物线的对称轴为直线x=-2.
故答案为:x=-2.
点评:
此题考查了抛物线与x轴的交点,熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键.
抛物线y=ax+bx+c与x轴的公共点是(-1,0),(3,0),则此抛物线的对称轴是直线x=.
分析:
因为点(-1,0)和(3,0)的纵坐标都为0,所以可判定是一对对称点,把两点的横坐标代入公式x=$\frac {x$_1$+x$_2$}{2}$求解即可.
解答:
解:∵抛物线与x轴的交点为(-1,0),(3,0),
∴两交点关于抛物线的对称轴对称,
则此抛物线的对称轴是直线x=$\frac {-1+3}{2}$=1,即直线x=1.
故答案是:直线x=1.
点评:
本题考查了抛物线与x轴的交点,以及如何求二次函数的对称轴,对于此类题目可以用公式法也可以将函数化为顶点式来求解,也可以用公式x=$\frac {x$_1$+x$_2$}{2}$求解,即抛物线y=ax+bx+c与x轴的交点是(x$_1$,0),(x$_2$,0),则抛物线的对称轴为直线x=$\frac {x$_1$+x$_2$}{2}$.
若函数y=mx+2x+1的图象与x轴只有一个公共点,则常数m的值是或(从小到大填写答案).
分析:
需要分类讨论:
①若m=0,则函数为一次函数;
②若m≠0,则函数为二次函数.由抛物线与x轴只有一个交点,得到根的判别式的值等于0,且m不为0,即可求出m的值.
解答:
解:①若m=0,则函数y=2x+1,是一次函数,与x轴只有一个交点;
②若m≠0,则函数y=mx+2x+1,是二次函数.
根据题意得:△=4-4m=0,
解得:m=1.
故答案为:0或1.
点评:
此题考查了一次函数的性质与抛物线与x轴的交点,抛物线与x轴的交点个数由根的判别式的值来确定.本题中函数可能是二次函数,也可能是一次函数,需要分类讨论,这是本题的容易失分之处.
若关于x的函数y=kx+2x-1与x轴仅有一个公共点,则实数k的值为或(从小到大填写答案).
分析:
令y=0,则关于x的方程kx+2x-1=0只有一个根,所以k=0或根的判别式△=0,借助于方程可以求得实数k的值.
解答:
解:令y=0,则kx+2x-1=0.
∵关于x的函数y=kx+2x-1与x轴仅有一个公共点,
∴关于x的方程kx+2x-1=0只有一个根.
①当k=0时,2x-1=0,即x=$\frac {1}{2}$,∴原方程只有一个根,∴k=0符号题意;
②当k≠0时,△=4+4k=0,
解得,k=-1.
综上所述,k=0或-1.
故答案是:0或-1.
点评:
本题考查了抛物线与x轴的交点.解题时,需要对函数y=kx+2x-1进行分类讨论:一次函数和二次函数时,满足条件的k的值.
如图,已知二次函数y=x+bx+c的图象经过点(-1,0),(1,-2),当y随x的增大而增大时,x的取值范围是x>.
分析:
先把(-1,0),(1,-2)代入二次函数y=x+bx+c中,得到关于b、c的方程,解出b、c,即可求解析式.
解答:
解:把(-1,0),(1,-2)代入二次函数y=x+bx+c中,得
$\left\{\begin{matrix}1-b+c=0 \ 1+b+c=-2 \ \end{matrix}\right.$,
解得
$\left\{\begin{matrix}b=-1 \ c=-2 \ \end{matrix}\right.$,
那么二次函数的解析式是y=x-x-2.
函数的对称轴是:x=$\frac {1}{2}$
因而当y随x的增大而增大时,x的取值范围是:x>$\frac {1}{2}$.
故答案是:x>$\frac {1}{2}$.
点评:
本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法,同时还考查了方程组的解法等知识,难度不大.
已知二次函数y=x-2mx+m_+3(m是常数).把该函数的图象沿y轴向下平移个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点.
分析:
先化成顶点式,根据顶点坐标和平移的性质得出即可.
解答:
解:y=x-2mx+m_+3=(x-m)_+3,
把函数y=(x-m)_+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后,得到函数y=(x-m)_的图象,它的顶点坐标是(m,0),
因此,这个函数的图象与x轴只有一个公共点,
所以,把函数y=x-2mx+m_+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点.
点评:
本题考查了二次函数和x轴的交点问题,平移的性质,二次函数的图象与几何变换的应用,主要考查学生的理解能力和计算能力,题目比较好,有一定的难度.