如图,⊙O的半径OA=10cm,设AB=16cm,P为AB上一动点,则点P到圆心O的最短距离为cm.
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答案解析
分析:
根据垂线段最短,可以得到当OP⊥AB时,点P到圆心O的距离最短.根据垂径定理和勾股定理即可求解.
解答:
解:根据垂线段最短知,
当点P运动到OP⊥AB时,点P到到点O的距离最短,
由垂径定理知,此时点P为AB中点,AP=8cm,
由勾股定理得,此时OP=$\sqrt {}$=6cm.
点评:
本题利用了垂线段最短和垂径定理及勾股定理求解.
如图,⊙O的半径OA=10cm,设AB=16cm,P为AB上一动点,则点P到圆心O的最短距离为cm.
分析:
根据垂线段最短,可以得到当OP⊥AB时,点P到圆心O的距离最短.根据垂径定理和勾股定理即可求解.
解答:
解:根据垂线段最短知,
当点P运动到OP⊥AB时,点P到到点O的距离最短,
由垂径定理知,此时点P为AB中点,AP=8cm,
由勾股定理得,此时OP=$\sqrt {}$=6cm.
点评:
本题利用了垂线段最短和垂径定理及勾股定理求解.
如图,AB、AC都是圆O的弦,OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M、N,如果BC=6,那么MN=.
分析:
由OM垂直于AB,ON垂直于AC,利用垂径定理得到M与N分别为AB、AC的中点,即MN为三角形ABC的中位线,利用中位线定理得到MN等于BC的一半,即可求出MN的长.
解答:
解:∵OM⊥AB,ON⊥AC,
∴M、N分别为AB、AC的中点,
∴MN为△ABC的中位线,
∵BC=6,
∴MN=$\frac {1}{2}$BC=3.
故答案为:3.
点评:
此题考查了垂径定理,以及中位线定理,熟练掌握定理是解本题的关键.
如图,在⊙O中,点C是弧AB的中点,∠A=50°,则∠BOC等于度.
分析:
由于点C是弧AB的中点,根据等弧对等角可知:∠BOC是∠BOA的一半;在等腰△AOB中,根据三角形内角和定理即可求出∠BOA的度数,由此得解.
解答:
解:△OAB中,OA=OB,
∴∠BOA=180°-2∠A=80°;
∵点C是弧AB的中点,即$\overset{\frown}{AC}$=$\overset{\frown}{BC}$,
∴∠BOC=$\frac {1}{2}$∠BOA=40°.
点评:
此题主要考查了圆心角、弧的关系:在同圆或等圆中,等弧所对的圆心角相等.
弦AB分圆为1:3两部分,则劣弧所对圆心角为°.
分析:
根据圆一周上弧的度数为360度,设出弦AB分圆的两部分长,列出方程,求出x值,再由圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到x的值即为要求的劣弧所对圆心角的度数.
解答:
解:设弦AB分圆的两部分别为x,3x,
∴x+3x=360°,
解得:x=90,
则劣弧所对圆心角为90°.
故答案为:90°
点评:
此题考查了圆心角、弧、弦的关系,设出适当的未知数,列出方程是解本题的关键.
如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=25°,以点C为圆心、AC为半径的圆交AB于点D,则$\overset{\frown}{AD}$的度数为度.
分析:
由三角形内角和得∠A=90°-∠B=65°.再由AC=CD,∠ACD度数可求,可解.
解答:
解:连接CD,∵∠ACB=90°,∠B=25°,∴∠A=90°-∠B=65°,
∵CA=CD,∴∠A=∠CDA=65°,∴∠ACD=180°-2∠A=50°,
∴弧AD的度数是50度.
点评:
本题利用了直角三角形,三角形内角和定理和圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
如图,∠AOB=90°,∠B=20°,以O为圆心,OA长为半径的圆交AB于点C,AO=12,求$\overset{\frown}{AC}$的长(结果保留π).
分析:
要求弧的长度,根据弧长的计算公式可知,需求得半径和弧所对的圆心角,本题中半径已知,连接OC,易求弧所对的圆心角,然后代入公式计算即可.
解答:
解:连接OC,
∵∠AOB=90°,∠B=20°,
∴∠A=70°,
∵OA=OC,
∴∠OCA=70°,
∴∠COA=180°-70°-70°=40°,
∴l_AC=$\frac {nπr}{180}$=$\frac {40π×12}{180}$=$\frac {8π}{3}$.
点评:
本题考查了弧长的计算公式,运用公式解题时,需注意n的值在代入公式时不能带有度数.
如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=28°,以C为圆心,CA为半径的圆交AB于点D,交BC于点E,则弧AD的度数为°.
分析:
连结CD,首先根据直角三角形的两个锐角互余,得到∠A=90°-∠B=62°.再根据等边对等角以及三角形的内角和定理得到∠ACD的度数,进一步得到其所对的弧的度数.
解答:
解:连结CD.
∵在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=28°,
∴∠A=90°-∠B=62°.
∵CA=CD,
∴∠CDA=∠CAD=62°,
∴∠ACD=56°,
∴弧AD的度数为56°.
故答案为56°.
点评:
本题考查了圆心角、弧、弦的关系,知道弧的度数等于它所对的圆心角的度数.综合运用了三角形的内角和定理及其推论,根据同圆的半径相等和等边对等角的性质进行计算.
如图,⊙O中,AB、CD是两条直径,弦CE∥AB,$\overset{\frown}{EC}$的度数是40°,则∠BOD=°.
分析:
连接DE,根据直径所对的圆周角是直角可得到∠DEC=90°,从而可求得∠ECD的度数,再根据两直线平行同位角相等得到∠AOD的度数,根据补角的性质即可求得∠BOD的度数.
解答:
解:连接DE,
∵DC是圆的直径,
∴∠DEC=90°.
∵弧EC的度数是40°,
∴∠EDC=20°.
∴∠ECD=70°.
∵CE∥AB,
∴∠AOD=∠ECD=70°.
∴∠BOD=110°.
故答案为110°.
点评:
此题主要考查学生对圆心角、弧、弦的关系及平行线的性质等知识点的综合运用能力,作出辅助线DE构造直角三角形是解题的关键.
如图,已知BD是⊙O的直径,点A、C在⊙O上,$\overset{\frown}{AB}$=$\overset{\frown}{BC}$,∠AOB=60°,则∠COD的度数是度.
分析:
先由$\overset{\frown}{AB}$=$\overset{\frown}{BC}$,得出∠BOC=∠AOB=60°,再根据直径的定义得出∠BOD=180°,则∠COD=180°-∠BOC=120°.
解答:
解:∵$\overset{\frown}{AB}$=$\overset{\frown}{BC}$,∠AOB=60°,
∴∠BOC=∠AOB=60°,
∵BD是⊙O的直径,
∴∠BOD=180°,
∴∠COD=180°-∠BOC=120°.
故答案为120.
点评:
本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.同时考查了直径与邻补角的定义.
如图,在⊙O中,$\overset{\frown}{AB}$=$\overset{\frown}{AC}$,∠A=30°,则∠B=°.
分析:
根据等弧所对的弦相等求得AB=AC,从而判定△ABC是等腰三角形;然后根据等腰三角形的两个底角∠B=∠C;最后由三角形的内角和定理求角B的度数即可.
解答:
解:∵在⊙O中,$\overset{\frown}{AB}$=$\overset{\frown}{AC}$,
∴AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形,
∴∠B=∠C;
又∠A=30°,
∴∠B=$\frac {180°-30°}{2}$=75°(三角形内角和定理).
故答案是:75.
点评:
本题综合考查了圆心角、弧、弦的关系,以及等腰三角形的性质.解题的关键是根据等弧对等弦推知△ABC是等腰三角形.
如图,在⊙O中,AB=AC,∠B=70°,∠C度数是°.
分析:
由在⊙O中,AB=AC,∠B=70°,根据等腰三角形的性质,即可求得答案.
解答:
解:∵在⊙O中,AB=AC,∠B=70°,
∴∠C=∠B=70°.
故答案为:70°.
点评:
此题考查了等腰三角形的性质.此题比较简单,注意掌握数形结合思想的应用.