已知反比例函数$y = - \frac {4} {x}$，则当$x > - 1$时，y的取值范围为.
忽略反比例函数图象是不连续的两支而致错，求取值范围时需要分象限讨论.
$y = - \frac {4} {x}$的图象位于第二、四象限，在第二象限内，当$- 1 < x < 0$时，$y > 4$；在第四象限内，$x > 0$时，$y < 0$. 所以当$x > - 1$时，y的取值范围为$y > 4$或$y < 0$.
一元二次方程的定义
等号两边都是，只含有个未知数（一元），并且未知数的最高次数是（二次）的方程，叫做一元二次方程. 例如：$\sqrt{3} x^{2}+x+1=0,\quad 12 x^{2}+7=0$是一元二次方程.
一元二次方程必须同时满足三个条件：、、.
当m=时，方程$(m-1) \cdot x^{m^{2}+1}+2 m x+3=0$是关于x的一元二次方程.
由题意，得$m²+1=2，∴m²=1，∴m=±1$.
当$m=1时，m-1=0$，原方程不是一元二次方程；
当$m=-1时，m-1≠0$，原方程是一元二次方程.
∴当$m=-1时$，原方程是一元二次方程.
直接开平方法解一元二次方程
根据直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法. 例如$x ^ {2} = 25$，解得$x = \pm 5$.
一般地，对于方程$x ^ {2} = p$，
$p>0$ | 方程有两个不等的实数根$x_{1}=$，$x_{2}=$ |
$p=0$ | 方程有两个相等的实数根$x_{1}=x_{2}=$ |
$p<0$ | 方程 |
其他适用直接开平方法的情形
（1）$x ^ {2} - q = p $ $( p + q \geq 0 )$$\stackrel{移项后左右同时开平方降次}→$$x = \pm \sqrt {p + q}$；
（2）$q ( m x + a ) ^ {2} = p $ $( p q \geq0 ， q \neq 0 ， m \neq 0 )$$\stackrel{左右同时除以系数后开平方降次}→$$m x + a = \pm \sqrt {\frac {p} {q}}$；
（3）$( m x + a ) ^ {2} = ( n x + b ) ^ {2} ( m \neq 0 ， n \neq 0 )$$\stackrel{左右同时开平方降次}→$$m x + a = \pm ( n x + b )$
如果方程（x-5）2=m-7可以用直接开平方求解，则m的取值范围是.
解一元二次方程直接开平方法
根据偶次方的非负性得出不等式，求出不等式的解集即可.
解：∵(x-5)2=m-7可以用直接开平方求解，
∴m-7≥0，解得：m≥7 .
配方法解一元二次方程
通过把方程配成形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.
公式法解一元二次方程
当$\Delta \geq 0$时，方程$a x ^ {2} + b x + c = 0 ( a \neq 0 )$通过配方，其实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程$a x ^ {2} + b x + c = 0 $的求根公式. 将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
$\Delta > 0$ | 方程有两个不等的实数根$x = \frac {- b \pm \sqrt {b ^ {2} - 4 a c}} {2 a}$ |
$\Delta = 0$ | 方程有两个相等的实数根 |
$\Delta < 0$ | 方程无实数根 |
利用公式法解一元二次方程的一般步骤：
（1）把方程化为一般形式，确定的值；
（2）求出$\Delta = b ^ {2} - 4 a c$的值；
（3）若$\Delta \geq 0$，则将$a$，b，c的值代入求出方程的根，若$\Delta < 0$，则方程.
方程$3 x ( x - 1 ) = 2 ( x - 1 )$的根是.
原方程可化为$3 x ( x - 1 ) - 2 ( x - 1 ) = 0$，即$( x - 1 ) ( 3 x - 2 ) = 0$，所以$x - 1 = 0$或$3 x - 2 = 0$，解得$x _ {1} = 1$，$x _ {2} = \frac {2} {3}$.
一元二次方程根的判别式
对于一元二次方程$a x ^ {2} + b x + c = 0 ( a \neq 0 )$，通过配方可得$( x + \frac {b} {2 a} ) ^ {2} =\frac {b ^ {2} - 4 a c} {4 a ^ {2}}$，则方程根的情况由$b ^ {2} - 4 a c$的符号决定.
一般地，式子叫做一元二次方程$a x ^ {2} + b x + c = 0 $根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即.
二次三项式$a x ^ {2} + b x + c = 0$的配方
（1）提：$a ( x ^ {2} + \frac {b} {a} x + \frac {c} {a} )=0$；
（2）凑：$a [x ^ {2} + \frac {b} {a} x + ( \frac {b} {2 a} ) ^ {2} -( \frac {b} {2 a} ) ^ {2} + \frac {c} {a}]=0$；
（3）整理：得$a ( x + \frac {b} {2 a} ) ^ {2} + \frac {4 a c - b ^ {2}} {4 a}=0$.
四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段a与b的比，等于另外两条线段c与d的比，即，那么这四条线段叫做，简称.这时线段a、b、c、d叫做组成比例的项，线段a、d叫做，线段b、c叫做比例内项.
两条线段的长度单位必须统一.
已知点C是AB的黄金分割点，若AB=2cm，则AC=.
如果没有明确所求的线段是分割成的长线段还是短线段，要分为两种情况求解，防止漏解.本题易因为没有考虑AC与BC的长短而产生漏解.