一元二次方程的定义
等号两边都是,只含有个未知数(一元),并且未知数的最高次数是(二次)的方程,叫做一元二次方程. 例如:$\sqrt{3} x^{2}+x+1=0,\quad 12 x^{2}+7=0$是一元二次方程.
一元二次方程必须同时满足三个条件:、、.
一元二次方程的定义
等号两边都是,只含有个未知数(一元),并且未知数的最高次数是(二次)的方程,叫做一元二次方程. 例如:$\sqrt{3} x^{2}+x+1=0,\quad 12 x^{2}+7=0$是一元二次方程.
一元二次方程必须同时满足三个条件:、、.
当m=时,方程$(m-1) \cdot x^{m^{2}+1}+2 m x+3=0$是关于x的一元二次方程.
由题意,得$m²+1=2,∴m²=1,∴m=±1$.
当$m=1时,m-1=0$,原方程不是一元二次方程;
当$m=-1时,m-1≠0$,原方程是一元二次方程.
∴当$m=-1时$,原方程是一元二次方程.
直接开平方法解一元二次方程
根据直接开平方来解一元二次方程的方法,叫做直接开平方法. 例如$x ^ {2} = 25$,解得$x = \pm 5$.
一般地,对于方程$x ^ {2} = p$,
$p>0$ | 方程有两个不等的实数根$x_{1}=$,$x_{2}=$ |
$p=0$ | 方程有两个相等的实数根$x_{1}=x_{2}=$ |
$p<0$ | 方程 |
其他适用直接开平方法的情形
(1)$x ^ {2} - q = p $ $( p + q \geq 0 )$$\stackrel{移项后左右同时开平方降次}→$$x = \pm \sqrt {p + q}$;
(2)$q ( m x + a ) ^ {2} = p $ $( p q \geq0 , q \neq 0 , m \neq 0 )$$\stackrel{左右同时除以系数后开平方降次}→$$m x + a = \pm \sqrt {\frac {p} {q}}$;
(3)$( m x + a ) ^ {2} = ( n x + b ) ^ {2} ( m \neq 0 , n \neq 0 )$$\stackrel{左右同时开平方降次}→$$m x + a = \pm ( n x + b )$
如果方程(x-5)2=m-7可以用直接开平方求解,则m的取值范围是.
解一元二次方程直接开平方法
根据偶次方的非负性得出不等式,求出不等式的解集即可.
解:∵(x-5)2=m-7可以用直接开平方求解,
∴m-7≥0,解得:m≥7 .
配方法解一元二次方程
通过把方程配成形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法.
公式法解一元二次方程
当$\Delta \geq 0$时,方程$a x ^ {2} + b x + c = 0 ( a \neq 0 )$通过配方,其实数根可写为的形式,这个式子叫做一元二次方程$a x ^ {2} + b x + c = 0 $的求根公式. 将各系数直接代入求根公式,这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
$\Delta > 0$ | 方程有两个不等的实数根$x = \frac {- b \pm \sqrt {b ^ {2} - 4 a c}} {2 a}$ |
$\Delta = 0$ | 方程有两个相等的实数根 |
$\Delta < 0$ | 方程无实数根 |
利用公式法解一元二次方程的一般步骤:
(1)把方程化为一般形式,确定的值;
(2)求出$\Delta = b ^ {2} - 4 a c$的值;
(3)若$\Delta \geq 0$,则将$a$,b,c的值代入求出方程的根,若$\Delta < 0$,则方程.
方程$3 x ( x - 1 ) = 2 ( x - 1 )$的根是.
原方程可化为$3 x ( x - 1 ) - 2 ( x - 1 ) = 0$,即$( x - 1 ) ( 3 x - 2 ) = 0$,所以$x - 1 = 0$或$3 x - 2 = 0$,解得$x _ {1} = 1$,$x _ {2} = \frac {2} {3}$.
一元二次方程根的判别式
对于一元二次方程$a x ^ {2} + b x + c = 0 ( a \neq 0 )$,通过配方可得$( x + \frac {b} {2 a} ) ^ {2} =\frac {b ^ {2} - 4 a c} {4 a ^ {2}}$,则方程根的情况由$b ^ {2} - 4 a c$的符号决定.
一般地,式子叫做一元二次方程$a x ^ {2} + b x + c = 0 $根的判别式,通常用希腊字母“”表示它,即.
二次三项式$a x ^ {2} + b x + c = 0$的配方
(1)提:$a ( x ^ {2} + \frac {b} {a} x + \frac {c} {a} )=0$;
(2)凑:$a [x ^ {2} + \frac {b} {a} x + ( \frac {b} {2 a} ) ^ {2} -( \frac {b} {2 a} ) ^ {2} + \frac {c} {a}]=0$;
(3)整理:得$a ( x + \frac {b} {2 a} ) ^ {2} + \frac {4 a c - b ^ {2}} {4 a}=0$.
四条线段a,b,c,d中,如果其中两条线段a与b的比,等于另外两条线段c与d的比,即,那么这四条线段叫做,简称.这时线段a、b、c、d叫做组成比例的项,线段a、d叫做,线段b、c叫做比例内项.
两条线段的长度单位必须统一.
已知点C是AB的黄金分割点,若AB=2cm,则AC=.
如果没有明确所求的线段是分割成的长线段还是短线段,要分为两种情况求解,防止漏解.本题易因为没有考虑AC与BC的长短而产生漏解.
如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似,可简单说成:.
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似,可简单说成:.
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.可简单说成:.