填空题
当m=时，方程$(m-1) \cdot x^{m^{2}+1}+2 m x+3=0$是关于x的一元二次方程.
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-1
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由题意，得$m²+1=2，∴m²=1，∴m=±1$.
当$m=1时，m-1=0$，原方程不是一元二次方程；
当$m=-1时，m-1≠0$，原方程是一元二次方程.
∴当$m=-1时$，原方程是一元二次方程.
举一反三
直接开平方法解一元二次方程
根据直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法. 例如$x ^ {2} = 25$，解得$x = \pm 5$.
一般地，对于方程$x ^ {2} = p$，
$p>0$ | 方程有两个不等的实数根$x_{1}=$，$x_{2}=$ |
$p=0$ | 方程有两个相等的实数根$x_{1}=x_{2}=$ |
$p<0$ | 方程 |
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平方根的意义$\sqrt{p}$$-\sqrt{p}$0无实数根
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其他适用直接开平方法的情形
（1）$x ^ {2} - q = p $ $( p + q \geq 0 )$$\stackrel{移项后左右同时开平方降次}→$$x = \pm \sqrt {p + q}$；
（2）$q ( m x + a ) ^ {2} = p $ $( p q \geq0 ， q \neq 0 ， m \neq 0 )$$\stackrel{左右同时除以系数后开平方降次}→$$m x + a = \pm \sqrt {\frac {p} {q}}$；
（3）$( m x + a ) ^ {2} = ( n x + b ) ^ {2} ( m \neq 0 ， n \neq 0 )$$\stackrel{左右同时开平方降次}→$$m x + a = \pm ( n x + b )$
如果方程（x-5）2=m-7可以用直接开平方求解，则m的取值范围是.
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m≥7
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解一元二次方程直接开平方法
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根据偶次方的非负性得出不等式，求出不等式的解集即可.
解：∵(x-5)2=m-7可以用直接开平方求解，
∴m-7≥0，解得：m≥7 .
配方法解一元二次方程
通过把方程配成形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.
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完全平方的
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公式法解一元二次方程
当$\Delta \geq 0$时，方程$a x ^ {2} + b x + c = 0 ( a \neq 0 )$通过配方，其实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程$a x ^ {2} + b x + c = 0 $的求根公式. 将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
$\Delta > 0$ | 方程有两个不等的实数根$x = \frac {- b \pm \sqrt {b ^ {2} - 4 a c}} {2 a}$ |
$\Delta = 0$ | 方程有两个相等的实数根 |
$\Delta < 0$ | 方程无实数根 |
利用公式法解一元二次方程的一般步骤：
（1）把方程化为一般形式，确定的值；
（2）求出$\Delta = b ^ {2} - 4 a c$的值；
（3）若$\Delta \geq 0$，则将$a$，b，c的值代入求出方程的根，若$\Delta < 0$，则方程.
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$x = \frac {- b \pm \sqrt {b ^ {2} - 4 a c}} {2 a}$$x_{1}=x_{2}=-\frac{b}{2a}$$a，b，c$求根公式$x = \frac {- b \pm \sqrt {b ^ {2} - 4 a c}} {2 a}$无实数根
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方程$3 x ( x - 1 ) = 2 ( x - 1 )$的根是.
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$x _ {1} = 1$，$x _ {2} = \frac {2} {3}$
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原方程可化为$3 x ( x - 1 ) - 2 ( x - 1 ) = 0$，即$( x - 1 ) ( 3 x - 2 ) = 0$，所以$x - 1 = 0$或$3 x - 2 = 0$，解得$x _ {1} = 1$，$x _ {2} = \frac {2} {3}$.
一元二次方程根的判别式
对于一元二次方程$a x ^ {2} + b x + c = 0 ( a \neq 0 )$，通过配方可得$( x + \frac {b} {2 a} ) ^ {2} =\frac {b ^ {2} - 4 a c} {4 a ^ {2}}$，则方程根的情况由$b ^ {2} - 4 a c$的符号决定.
一般地，式子叫做一元二次方程$a x ^ {2} + b x + c = 0 $根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即.
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$b ^ {2} - 4 a c$∆∆$=b^{2}-4ac$
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二次三项式$a x ^ {2} + b x + c = 0$的配方
（1）提：$a ( x ^ {2} + \frac {b} {a} x + \frac {c} {a} )=0$；
（2）凑：$a [x ^ {2} + \frac {b} {a} x + ( \frac {b} {2 a} ) ^ {2} -( \frac {b} {2 a} ) ^ {2} + \frac {c} {a}]=0$；
（3）整理：得$a ( x + \frac {b} {2 a} ) ^ {2} + \frac {4 a c - b ^ {2}} {4 a}=0$.
四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段a与b的比，等于另外两条线段c与d的比，即，那么这四条线段叫做，简称.这时线段a、b、c、d叫做组成比例的项，线段a、d叫做，线段b、c叫做比例内项.
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$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$成比例线段比例线段比例外项
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两条线段的长度单位必须统一.
已知点C是AB的黄金分割点，若AB=2cm，则AC=.
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$(\sqrt{5}-1) cm$或$(3-\sqrt{5}) cm$
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如果没有明确所求的线段是分割成的长线段还是短线段，要分为两种情况求解，防止漏解.本题易因为没有考虑AC与BC的长短而产生漏解.
如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简单说成：.
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简单说成：.
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.可简单说成：.
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两角分别相等的两个三角形相似两边成比例且夹角相等的两个三角形相似三边成比例的两个三角形相似
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如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，点E在AB上，且AE＝3，点F在AC上，连接EF，若△AEF与△ABC相似，则AF＝.
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2或4.5
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问题要点
利用相似三角形的性质时，要注意相似比的顺序. 分类讨论时，要注意对应关系的变化，防止遗漏.
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当△AEF∽△ABC时，则$\frac{AE}{AF}$=$\frac{AB}{AC}$，即3AF=96，得AF=2；当△AEF∽△ACB时，则，即3AF=69，得AF=4.5.