(多选)如图所示,轻杆长为3L,在杆的A、B两端分别固定质量均为m的球A和球B,杆上距球A为L处的点O装在光滑水平转动轴上,杆和球在竖直面内做匀速圆周运动,且杆对球A、B的最大约束力相同,则( )
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答案解析
分析:
当物体所受的外力相等时,所需要的向心力越大,越容易产生离心现象;两球做圆周运动,由重力和杆的作用力的合力提供向心力,根据牛顿第二定律列式分析.在最高点,杆对球可能是支持力,也可能是拉力.
解答:
解:
A、两球的角速度相同,由向心力公式F_n=mω_r,由于B的半径较大,所需要的向心力较大,而由题意:两球的重力相等,杆对两球的最大拉力相等时,在最低点时,两球的最大合外力相等,所以B球更容易做离心运动,更容易脱离轨道.故A正确.
B、若B球在最低点和杆作用力为3mg,设B球的速度为v_B.
则根据牛顿第二定律得:N_B-mg=m$\frac {_B}{2L}$,且N_B=3mg,得:v_B=2$\sqrt {gL}$;
由v=ωr,ω相等,A的半径是B的一半,则得此时A的速度为 v_A=$\frac {1}{2}$v_B=$\sqrt {gL}$
对A球:设杆的作用力大小为N_A,方向向下,则有:mg+N_A=m$\frac {_A}{L}$,解得N_A=0,说明杆对A球没有作用力,故B错误.
C、若某一周A球在最高点和B球在最高点受杆的力大小相等,设为F.
假设在最高点杆对A、B球产生的都是支持力,有:
对B球:mg-F=mω_•2L,;
对A球:mg-F=mω_L;
很显然上述两个方程不可能同时成立,说明假设不成立,则知两球所受的杆的作用力不可能同时是支持力.
对B球,若杆对B球产生的是拉力,有:mg+F=mω_•2L,;
对A球,若杆对A球产生的是拉力,有:F+mg=mω_L;
两个方程不可能同时成立,所以不可能两球同时受杆的是拉力;
对B球,若杆对B球产生的是拉力,有:mg+F=mω_•2L,;
对A球,若杆对A球产生的是支持力,有:F-mg=mω_L;
两个方程能同时成立,所以可能A球受杆的是支持力、B球受杆的是拉力;
对B球,若杆对B球产生的是支持力,有:mg-F=mω_•2L,;
对A球,若杆对A球产生的是拉力,有:F+mg=mω_L;
两个方程不能同时成立,所以不可能A球受杆的是拉力,而B球受杆的是支持力;
综上,A球在最高点和B球在最高点受杆的力大小相等时,A球受杆的是支持力、B球受杆的是拉力.故C正确.
D、若两球最高点所受的杆的作用力都是支持力,
则对B球,若杆对B球产生的是支持力,有:mg-F_B=mω_•2L,得F_B=mg-2mω_L;
对A球,若杆对A球产生的是支持力,有:mg-F_A=mω_L,得F_A=mg-mω_L
由上两式得:每一周做匀速圆周运动的角速度都增大,F_A>F_B,故D错误.
故选:AC
点评:
解答竖直平面内的圆周运动问题,关键分析向心力的来源,把握住的临界条件,有时要结合机械能守恒定律研究.