设(5x-$\sqrt {x}$)^{n}的展开式的各项系数之和为M,二项式系数之和为N,若M-N=240,则展开式中x^{3}的系数为( )
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答案解析
分析:
利用赋值法及二项式系数和公式求出M、N列出方程求得n,利用二项展开式的通项公式求出第r+1项,令x的指数为3得系数.
解答:
点评:
设(5x-$\sqrt {x}$)^{n}的展开式的各项系数之和为M,二项式系数之和为N,若M-N=240,则展开式中x^{3}的系数为( )
分析:
利用赋值法及二项式系数和公式求出M、N列出方程求得n,利用二项展开式的通项公式求出第r+1项,令x的指数为3得系数.
解答:
点评:
在(2-$\sqrt {x}$)_的展开式中不含x_项的系数的和为( )
分析:
由(2-$\sqrt {x}$)_二项展开式的通项T_r+1=$_1$2•2_•(-1)_•x_即可求得展开式中含x_项的系数,从而可得展开式中不含x_项的系数的和.
解答:
解:∵(2-$\sqrt {x}$)_二项展开式的通项T_r+1=$_1$2•2_•(-1)_•x_,
∴展开式中含x_项的系数为:$_1$2•2_•(-1)_=1,
令x=1得展开式中所有项的系数的和为:(2-$\sqrt {1}$)_=1,
∴展开式中不含x_项的系数的和为:1-1=0.
故选B.
点评:
本题考查二项式定理,考查赋值法与间接法,先求得展开式中含x_项的系数是解本题的关键,属于中档题.
已知关于x的二项式($\sqrt {x}$+$\frac {a}{$\sqrt {x}$}$)_展开式的二项式系数之和为32,常数项为80,则a的值为( )
分析:
根据题意,有2_=32,可得n=5,进而可得其展开式为T_r+1=C$_5$_•($\sqrt {x}$)_•($\frac {a}{$\sqrt {x}$}$)_,分析可得其常数项为第4项,即C$_5$_•(a)_,
依题意,可得C$_5$_•(a)_=80,解可得a的值.
解答:
解:根据题意,该二项式的展开式的二项式系数之和为32,则有2_=32,
可得n=5,
则二项式的展开式为T_r+1=C$_5$_•($\sqrt {x}$)_•($\frac {a}{$\sqrt {x}$}$)_,
其常数项为第4项,即C$_5$_•(a)_,
根据题意,有C$_5$_•(a)_=80,
解可得,a=2;
故选C.
点评:
本题考查二项式定理的应用,注意二项式的展开式的形式,要求准确记忆.
设(5x-$\frac {1}{$\sqrt {x}$}$)_的展开式的各项系数和为M,二项式系数和为N,若M-N=240,则展开式中x的系数为( )
分析:
由题意可得4_-2_=240,求得n值,确定通项,令x的指数为1,即可求得结论.
解答:
解:由题意可得 4_-2_=240,∴n=4.
通项T_r+1=C$_4$_ (5x)_ (-x)_=(-1)_ C$_4$_ 5_ x_,
令4-$\frac {3}{2}$r=1,可得r=2
∴展开式中x的系数为(-1)_ C$_4$_ 5_=150
故选B.
点评:
本题考查二项式定理,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,求出 r=2,是解题的关键.
($\sqrt {x}$-2)_展开式中不含x_项的系数的和为( )
分析:
通过对二项式中的x赋值1求出展开式的所有项的系数和;利用二项展开式的通项公式求出通项,令x的指数为3求出展开式含x_的系数;利用总系数和减去x_的系数得到所求.
解答:
解:令x=1得到展开式的所有项的系数和为-1
展开式的通项为T_r+1=(-2)__9x_
令3-$\frac {r}{3}$=3得r=0
所以展开式的x_的系数为1
所以展开式中不含x_的系数和为-1-1=-2
故选D
点评:
本题考查求展开式的所有项的系数和常用的方法是:赋值法、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题.
设m为正整数,(x+y)_展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)_展开式的二项式系数的最大值为b,若13a=7b,则m=( )
分析:
根据二项式系数的性质求得a和b,再利用组合数的计算公式,解方程13a=7b求得m的值.
解答:
解:∵m为正整数,由(x+y)_展开式的二项式系数的最大值为a,以及二项式系数的性质可得a=$_2$m,
同理,由(x+y)_展开式的二项式系数的最大值为b,可得 b=$_2$m+1.
再由13a=7b,可得13$_2$m=7$_2$m+1,即 13×$\frac {(2m)!}{m!•m!}$=7×$\frac {(2m+1)!}{m!•(m+1)!}$,即 13=7×$\frac {2m+1}{m+1}$,即 13(m+1)=7(2m+1).
解得m=6,
故选B.
点评:
本题主要考查二项式系数的性质的应用,组合数的计算公式,属于中档题.
已知($\sqrt {x}$+$\frac {1}{$\sqrt {x}$}$)_的展开式中的各项系数之和大于8,小于32,则展开式中系数最大的项是( )
分析:
令x=1,可求出展开式中的各项系数之和,通过各项系数之和大于8,小于32由已知求出n,即可求解中间项系数最大.
解答:
解:由已知,令x=1,展开式中的各项系数之和为2_∴8<2_<32
∴n=4.
又因为展开式中各项系数等于各项的二项式系数,
系数最大的项为第3项,为T$_3$=$_4$($\sqrt {x}$)_($\frac {1}{$\sqrt {x}$}$)_ =6$\sqrt {x}$
故选B.
点评:
本题考查二项式定理的应用,考查赋值思想、求指定的项.属于基础题.
在(x+y)_的展开式中,若第九项系数最大,则n的值可能等于( )
分析:
根据二项式系数的性质,分别令$\frac {n}{2}$=8或$\frac {n-1}{2}$=8或$\frac {n+1}{2}$=8,即可得到n的可能取值.
解答:
解:(x+y)_的展开式的通项为T_r+1=_nx_y_,
则某一项的系数即为二项式系数,
由二项式系数的性质得,
当n为偶数时,中间一项的二项式系数_n最大;
当n为奇数时,中间两项的二项式系数_n,_n最大.
∴当n为偶数时,有$\frac {n}{2}$=8,即n=16,
当n为奇数时,有$\frac {n-1}{2}$=8,即n=17;或$\frac {n+1}{2}$=8,即n=15,
∴n的值可能等于15,16,17.
故选B.
点评:
本题主要考查二项式系数的性质,解题时应注意某项的系数与二项式系数的区别,本题是一道基础题.
(1-x)2n展开式中,二项式系数最大的项是( )
分析:
由于指数是奇数,故展开式的项数为偶数,由二项式的性质知,中间两项系数最大,求出其序号即可
解答:
解:由题意(1-x)2n展开式中,二项式系数最大的项是中间两项,分别为第n项与第n+1项故选D.
点评:
本题考查二项定理,解题的关键是掌握二项式展开式的性质,以及二项式的指数的奇偶性,由此判断出哪些项的二项式系数最大,本题是概念型题.
(1+x)_的展开式中,二项式系数最大的项所在的项数是( )
分析:
根据(1+x)_的展开式共有2n+2项,中间两项的二项式系数最大,得出结论.
解答:
解:由于(1+x)_的展开式共有2n+2项,根据二项式系数的性质,中间两项的二项式系数最大,
故二项式系数最大的项所在的项数是第n+1项和n+2项,
故选:C.
点评:
本题主要考查二项式系数的定义和性质,属于基础题.
二项式(x+2)11展开式中,二项式系数最大的项是( )
解答:
解:由于二项式(x+2)11展开式共有12项,n=11,故当r=5 或6时,即展开式的第6、7项的二项式系数最大,故选:D.
点评:
本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题.