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题目答案
-1$\frac {23}{4}$
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答案解析
分析:
由$\left\{\begin{matrix}y=$\frac {1}{2}$x \ y=-$\frac {1}{4}$x+6 \ \end{matrix}\right.$,得到A,B两点的坐标,再运用待定系数法确定直线AB的解析式,当一条直线与直线AB平行,且与抛物线只有一个交点P时,三角形PAB面积最大.将直线解析式y=$\frac {1}{2}$x+m与抛物线解析式联立消去y,得到关于x的一元二次方程,令根的判别式等于0,求出m的值,即可确定出此时P的坐标.
解答:
解:由$\left\{\begin{matrix}y=$\frac {1}{2}$x \ y=-$\frac {1}{4}$x+6 \ \end{matrix}\right.$,得A(-6,-3),B(4,2).
设直线AB的解析式为y=kx+b,
将A与B坐标代入得:$\left\{\begin{matrix}-6k+b=-3 \ 4k+b=2 \ \end{matrix}\right.$,
解得:$\left\{\begin{matrix}k=$\frac {1}{2}$ \ b=0 \ \end{matrix}\right.$,
∴直线AB的解析式为y=$\frac {1}{2}$x.
设平行于直线AB,且与抛物线只有一个交点的直线方程为y=$\frac {1}{2}$x+m,
此时直线与抛物线交于点P,使得△PAB的面积最大,
与二次函数解析式联立消去y得:-$\frac {1}{4}$x+6=$\frac {1}{2}$x+m,
整理得:x+2x+4m-24=0,
∴△=4-4(4m-24)=0,
解得:m=$\frac {25}{4}$,
∴此时直线方程为y=$\frac {1}{2}$x+$\frac {25}{4}$.
由$\left\{\begin{matrix}y=$\frac {1}{2}$x+$\frac {25}{4}$ \ y=-$\frac {1}{4}$x+6 \ \end{matrix}\right.$,解得$\left\{\begin{matrix}x=-1 \ y=$\frac {23}{4}$ \ \end{matrix}\right.$,
∴点P坐标为(-1,$\frac {23}{4}$).
故答案为:(-1,$\frac {23}{4}$).
点评:
此题考查了抛物线与x轴的交点,两直线平行时斜率满足的关系,解题的关键是:“平行于直线AB,且与抛物线只有一个交点的直线方程与抛物线交点为P,使得△PAB的面积最大”.
["-1","$\\frac {23}{4}$"]