分别以正方形的各边为直径向其内部作半圆得到的图形如图所示.将该图形绕其中心旋转一个合适的角度后会与原图形重合,则这个旋转角的最小度数是度.
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答案解析
分析:
观察图形可得,图形有四个形状相同的部分组成,从而能计算出旋转角度.
解答:
图形可看作由一个基本图形每次旋转90°,旋转4次所组成,故最小旋转角为90°.
故答案为:90.
点评:
本题考查了观察图形,确定最小旋转角度数的方法,需要熟练掌握.
分别以正方形的各边为直径向其内部作半圆得到的图形如图所示.将该图形绕其中心旋转一个合适的角度后会与原图形重合,则这个旋转角的最小度数是度.
分析:
观察图形可得,图形有四个形状相同的部分组成,从而能计算出旋转角度.
解答:
图形可看作由一个基本图形每次旋转90°,旋转4次所组成,故最小旋转角为90°.
故答案为:90.
点评:
本题考查了观察图形,确定最小旋转角度数的方法,需要熟练掌握.
正方形绕其中心旋转一定的角度与原图形重合,则这个角至少为度.
分析:
根据正方形的对角线把正方形分成四个全等的直角三角形与旋转对称图形的性质解答.
解答:
∵正方形的对角线把正方形分成四个全等的直角三角形,
∴顶点处的周角被分成四个相等的角,360°÷4=90°,
∴这个正方形绕着它的中心旋转90°的整数倍后,就能与它自身重合,
因此,这个角度至少是90度.
故答案为:90.
点评:
本题考查旋转对称图形的概念:把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后,与初始图形重合,这种图形叫做旋转对称图形,这个定点叫做旋转对称中心,旋转的角度叫做旋转角.
如图,四边形EFGH是由四边形ABCD经过旋转得到的.如果用有序数对(2,1)表示方格纸上A点的位置,用(1,2)表示B点的位置,那么四边形ABCD旋转得到四边形EFGH时的旋转中心用有序数对表示是(,).
分析:
首先确定坐标轴,根据对称中心就是对应点的连线的垂直平分线的交点作答即可.
解答:
解:四边形ABCD旋转得到四边形EFGH时的旋转中心用有序数对表示是(5,2).
点评:
解决本题的关键是找到旋转中心的位置.
如图,在平面直角坐标系中,点A在x轴上,△ABO是直角三角形,∠ABO=90°,点B的坐标为(-1,2),将△ABO绕原点O顺时针旋转90°得到△A$_1$B$_1$O,则过A$_1$,B两点的直线解析式为y=.
分析:
过点B作BC⊥x轴于点C,根据相似三角形对应边成比例求出AC的长度,然后求出OA的长度,从而得到点A的坐标,再根据旋转变换的性质求出点A$_1$的坐标,然后利用待定系数法求一次函数解析式解答即可.
解答:
解:如图,过点B作BC⊥x轴于点C,
∵点B的坐标为(-1,2),
∴OC=1,BC=2,
∵∠ABO=90°,
∴∠BAC+∠AOB=90°,
又∵∠BAC+∠ABC=90°,
∴∠AOB=∠ABC,
∴Rt△ABC∽Rt△BOC,
∴$\frac {AC}{BC}$=$\frac {BC}{OC}$,
即$\frac {AC}{2}$=$\frac {2}{1}$,
解得AC=4,
∴OA=OC+AC=1+4=5,
∴点A(-5,0),
根据旋转变换的性质,点A$_1$(0,5),
设过A$_1$,B两点的直线解析式为y=kx+b,
则$\left\{\begin{matrix}-k+b=2 \ b=5 \ \end{matrix}\right.$,
解得$\left\{\begin{matrix}k=3 \ b=5 \ \end{matrix}\right.$.
所以过A$_1$,B两点的直线解析式为y=3x+5.
故答案为:y=3x+5.
点评:
本题考查了待定系数法求一次函数解析式,旋转变换的性质,作辅助线构造出相似三角形,利用相似三角形对应边成比例求出AC的长度,然后得到点A的坐标是解题的关键.
如图,△ABC的顶点坐标分别为A(3,6),B(1,3),C(4,2).如果将△ABC绕C点顺时针旋转90°,得到△A′B′C′,那么点A的对应点A′的坐标为(,).
分析:
解题的关键是抓住旋转的三要素:旋转中心,旋转方向,旋转角度,通过画图求解.
解答:
由图知A点的坐标为(3,6),根据旋转中心C,旋转方向顺时针,旋转角度90°,画图,从而得A′的坐标为(8,3).
点评:
本题涉及图形的旋转,体现了新课标的精神,应抓住旋转的三要素:旋转中心,旋转方向,旋转角度,通过画图求解.
如图所示,在平面直角坐标系中,△OAB三个顶点的坐标O(0,0)、A(3,4)、B(5,2).将△OAB绕原点O按逆时针方向旋转90°后得到△OA$_1$B$_1$,则点A$_1$的坐标是(,).
分析:
根据旋转的性质,旋转不改变图形的大小和形状,因此所得图形与原图形全等.
解答:
解:做A$_1$M⊥x轴于点M,AN⊥x轴于点N,易得△A$_1$MO≌△ONA,
∵A(3,4),
∴A$_1$的坐标是(-4,3).
点评:
此题考查了中心对称的两点的坐标之间的关系:(a,b)绕原点旋转逆时针90°后的点的坐标为(-b,a).
如图所示,△A′B′C′是由△ABC向右平移5个单位长度,然后绕B点逆时针旋转90°得到的(其中A′、B′、C′的对应点分别是A、B、C),点A′的坐标是(4,4)点B′的坐标是(1,1),则点A的坐标是(,).
分析:
△A′B′C′是由△ABC向右平移5个单位长度,然后绕B′点逆时针旋转90°得到的,则△ABC可以看成由△A′B′C′绕点B顺时针旋转90°,然后向左平移5个单位长度而得到点A的坐标.
解答:
把点(4,4)绕点B顺时针旋转90°,然后向左平移5个单位长度而得到点的坐标是(-1,-2).
点评:
运用逆向思维的方法,解题更方便且易于理解.
在平面直角坐标系中,点A关于y轴的对称点为点B,点A关于原点O的对称点为点C.
(1)若A点的坐标为(1,2),设AB与y轴的交点为D,则$\frac {S_△ADO}{S_△ABC}$=;
(2)若点A的坐标为(a,b)(ab≠0),则∠ABC=°.
分析:
(1)由A点的坐标为(1,2),而点A关于y轴的对称点为点B,点A关于原点O的对称点为点C,根据关于原点对称的坐标特点得到B点坐标为(-1,2),C点坐标为(-1,-2),则D点坐标为(0,2),利用三角形面积公式有S_△ADO=$\frac {1}{2}$OD•AD=$\frac {1}{2}$×2×1=1,S_△ABC=$\frac {1}{2}$BC•AB=$\frac {1}{2}$×4×2=4,即可得到$\frac {S_△ADO}{S_△ABC}$=$\frac {1}{4}$;
(2)点A的坐标为(a,b)(ab≠0),则B点坐标为(-a,b),C点坐标为(-a,-b),则AB∥x轴,BC∥y轴,AB=2|a|,BC=2|b|,得到△ABC的形状为直角三角形.
解答:
解:(1)∵A点的坐标为(1,2),点A关于y轴的对称点为点B,点A关于原点O的对称点为点C,
∴B点坐标为(-1,2),C点坐标为(-1,-2),
连AB,BC,AC,AB交y轴于D点,如图,
D点坐标为(0,2),
∴S_△ADO=$\frac {1}{2}$OD•AD=$\frac {1}{2}$×2×1=1,S_△ABC=$\frac {1}{2}$BC•AB=$\frac {1}{2}$×4×2=4,
∴$\frac {S_△ADO}{S_△ABC}$=$\frac {1}{4}$;
(2)点A的坐标为(a,b)(ab≠0),则B点坐标为(-a,b),C点坐标为(-a,-b),
AB∥x轴,BC∥y轴,AB=2|a|,BC=2|b|,
∴△ABC的形状为直角三角形,∠ABC=90°.
故答案为$\frac {1}{4}$;90.
点评:
本题考查了关于原点对称的坐标特点:点P(a,b)关于原点的对称点P′的坐标为(-a,-b).也考查了关于x轴、y轴对称的坐标特点以及三角形的面积公式.
小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称.如果小明家距学校2公里,那么他们两家相距公里.
分析:
根据中心对称图形的性质,得出小明、小辉两家到学校距离相等,即可得出答案.
解答:
∵小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称,
∴小明、小辉两家到学校距离相等,
∵小明家距学校2公里,
∴他们两家相距:4公里.
故答案为:4.
点评:
此题主要考查了中心对称图形的性质,根据已知得出小明、小辉两家到学校距离相等是解决问题的关键.
如图,AB⊥BC,AB=BC=2cm,弧OA与弧OC关于点O中心对称,则AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积是cm_.
分析:
由弧OA与弧OC关于点O中心对称,根据中心对称的定义,如果连接AC,则点O为AC的中点,则题中所求面积等于△BAC的面积.
解答:
解:连接AC.
∵弧OA与弧OC关于点O中心对称,
∴点O为AC的中点,
∴AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积=△BAC的面积=$\frac {1}{2}$×2×2=2cm_.
点评:
根据中心对称的性质,把所求的不规则图形转化为规则图形即△BAC的面积,是解决本题的关键.
如图,E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点,且BE+DF=EF,则∠EAF=度.
分析:
根据BE+DF=EF,则延长FD到G,使DG=BE,则FG=EF,可以认为是把△ABE绕点A逆时针旋转90度,得到△ADG,根据旋转的定义即可求解.
解答:
解:如图:延长FD到G,使DG=BE,则FG=EF,
在直角△ABE和直角△ADG中,$\left\{\begin{matrix}AB=AD \ BE=DG \ \end{matrix}\right.$,
∴直角△ABE≌直角△ADG,
∴AE=AG
又∴AF=AF,GF=EF
∴△AGF≌△AEF
∴∠EAF=∠GAF=$\frac {1}{2}$×90°=45°.
点评:
本题考查旋转的性质.旋转变化前后,对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等.要注意旋转的三要素:①定点-旋转中心;②旋转方向;③旋转角度.