如图,抛物线经过A(-2,0),B(-$\frac {1}{2}$,0),C(0,2)三点.在直线AC下方的抛物线上有一点D,使得△DCA的面积最大,则D的坐标为(,).
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答案解析
分析:
根据待定系数法,可得抛物线的解析式;
根据图形的割补法,可得面积的和差,根据二次函数的性质,可得答案.
解答:
解:设抛物线的解析式为y=ax+bx+c,将A(-2,0),B(-$\frac {1}{2}$,0),C(0,2)代入解析式,得
4a-2b+c=014a-12b+c=0c=2,
解得a=2b=5c=2.
∴抛物线的解析式是y=2x+5x+2;
由题意可求得AC的解析式为y=x+2,
如图1,
设D点的坐标为(t,2t_+5t+2),过D作DE⊥x轴交AC于E点,
∴E点的坐标为(t,t+2),
DE=t+2-(2t_+5t+2)=-2t_-4t,用h表示点C到线段DC所在直线的距离,
S_△DAC=S_△CDE+S_△ADE=12DE•h+12DE(2-h)=12DE•2=DE=-2t_-4t=-2(t-1)_+2
∵-2<t<0,
∴当t=-1时,△DCA的面积最大,此时D点的坐标为(-1,-1).
点评:
本题考察了二次函数综合题,利用待定系数法求函数解析式;利用图形割补法求面积是解题关键.