若不等式$\frac{x+5}{2}>-x-\frac{7}{2}$的解都能使不等式(m-6)x<2m+1成立,则实数m的取值范围是.
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答案解析
解不等式$\frac{x+5}{2}>-x-\frac{7}{2}$得x>-4,据此知x>-4都能使不等式(m-6)x<2m+1成立,再分m-6=0和m-6≠0两种情况分别求解.
解:解不等式$\frac{x+5}{2}>-x-\frac{7}{2}$得x>-4
$\because x>-4$ 都能使不等式 $(m-6) x<2 m+1$ 成立,
1.当m-6=0,即m=6时,x>-4都符合题意.
2.当 $m-6 \neq 0,$ 则不等式 $(m-6) x<2 m+1$ 的解要改变方向,$\therefore m-6<0,\quad$即 $m<6$.
$\therefore$ 不等式 $(m-6) x<2 m+1$ 的解集为 $x>\frac{2 m+1}{m-6}$.
∵x>-4都能使$x>\frac{2 m+1}{m-6}$成立.
∴-4>$\frac{2 m+1}{m-6}$
∴-4m+24>2m+1,
∴m<$\frac{23}{6}$.
综上所达, $m$ 的取值范围是 $\frac{23}{6}<\mathrm{m}<6$