(1)顶点式:
已知抛物线顶点(h,k)、对称轴或最大(小)值,可设解析式为,特殊地,若抛物线顶点在原点,则$h=k=0$,设其解析式为$y = a x ^ {2} ( a \neq 0 )$.
(2)交点式:
已知抛物线与$x$轴的交点坐标$( x _ {1} , 0 ) ( x _ {2} , 0 )$,可设解析式为.
(1)顶点式:
已知抛物线顶点(h,k)、对称轴或最大(小)值,可设解析式为,特殊地,若抛物线顶点在原点,则$h=k=0$,设其解析式为$y = a x ^ {2} ( a \neq 0 )$.
(2)交点式:
已知抛物线与$x$轴的交点坐标$( x _ {1} , 0 ) ( x _ {2} , 0 )$,可设解析式为.
圆的定义及表示方法
定义
(1)描述性定义:
在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆,其固定的端点O叫做,线段OA叫做.
(2)集合性定义:
将圆心为O、半径为r的圆看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合.
以点O为圆心的圆,记作“”,读作“圆O”. 确定一个圆需要两个要素$\left\{\begin{array} {l} {\text {圆心:确定圆的位置,}} \\ {\text {半径 :确定圆的大小.}} \end{array} \right.$
圆的特性
(1)圆上各点到圆心O的距离都等于;
(2)所有到圆心的距离等于半径的点都在同一个圆上;
(3)圆上任意两点和圆心构成的三角形是.
圆的轴对称性
圆是轴对称图形,任何一条所在的直线都是圆的对称轴.
垂径定理
垂直于弦的直径弦,并且弦所对的两条弧.
$\left.\begin{array} {l} {\text {①} C D \text {是直径}} \\ {② C D \perp A B} \end{array} \right\} \Rightarrow$$\left\{\begin{array} {l} {\text {③} A M = B M} \\ {\text {④} \tilde {A C} = \tilde {B C}} \\ {\text {⑤} \tilde {A D} = \tilde {B D}} \end{array} \right.$
垂径定理的推论
平分弦(不是)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
$\left.\begin{array} {l} {\text {①} C D \text {是直径}} \\ {② A M = B M} \\ {( A B \text {不是直径} )} \end{array} \right\} \Rightarrow$$\left\{\begin{array} {l} {\text {③} C D \perp A B} \\ {\text {④} \tilde {A C} = \tilde {B C}} \\ {\text {⑤} \tilde {A D} = \tilde {B D}} \end{array} \right.$
由垂径定理以及推论可知:如果一条直线具备①经过圆心(直径);②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧中任意两条性质,就具备其他三条性质,简称“知二推三”.
圆周角
圆周角的定义
顶点在上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的角度数的一半. 如图$\angle A B C =\frac {1} {2} \angle A O C$.
圆周角与圆心角的区别
(1)顶点:圆周角的顶点,圆心角的顶点;
(2)个数:一条弧所对的圆心角有个,所对的圆周角有个.
若圆的一条弦把圆分成度数的比为$1:3$的两条弧,则该弦所对的圆周角等于 .
∵圆的一条弦把圆分成度数的比为$1:3$的两条弧,
∴这两条弧所对的圆心角分别为:$90{}^\circ $和$270{}^\circ $,
∴弦所对的圆周角等于$45{}^\circ $或$135{}^\circ $.
故答案为$45{}^\circ $或$135{}^\circ $.
或等弧所对的圆周角相等.
$\hat {A C} = \hat {B D} \Rightarrow \angle A B C = \angle B A D$
半圆(或直径)所对的圆周角是角;90°的圆周角所对的弦是直径.
直线与圆有公共点时,叫做直线和圆相交.这时直线叫做圆的割线.
直线和圆只有公共点时,叫做直线和圆相切.这时直线叫做圆的切线,唯一的公共点叫做切点.
直线和圆公共点时,叫做直线和圆相离.
已知$\odot O$的半径为$\text{5cm}$,圆心$O$到直线的距离为$\text{6cm}$,则直线与$\odot O$的位置关系是 .
根据圆心到直线的距离是$6$大于圆的半径$5$,则直线和圆相离.
故答案为:相离.
切线的判定定理
切线的性质定理
圆的切线垂直于经过的半径.
在一个半径为6cm的圆中,有一条长度为6cm的弦,则这条弦所对的弧长为.
在求圆中一条弦所对的弧长时,不要忽视非直径的弦所对的弧有两条,一条是优弧,一条是劣弧.
常见错解:2 π cm
如图所示,∵OA=OB=AB=6cm,
∴△AOB是等边三角形,∴∠AOB=60°.
而弦AB所对的弧有两条,即$\hat {A B}$和$\hat {A C B}$,
∴$l _ {\hat {A B}} = \frac {60 \pi \times 6} {180} = 2 \pi$(cm),
∴$l _ {\hat {A C B}} = \frac {( 360 - 60 ) \pi \times 6} {180} = 10 \pi$(cm).