问题要点

三角形的外心位置与三角形的形状有关，锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边的中点处，钝角三角形的外心在三角形的外部，当涉及三角形外心时，若没有给出具体图形，则要分类讨论.

答案解析

分两种情况讨论：

①当点 O 在 △ABC 的内部时，如图（1），则 $\angle B A C = \frac {1} {2} \angle B O C = 35 ^ {\circ}$；

②当点 O 在 △ABC 的外部时，如图（2），则 $\angle B A C = \frac {1} {2} ( 360 ^ {\circ} - 70 ^ {\circ} ) = 145 ^ {\circ}$.

综上，∠BAC 的度数为 35° 或 145°.

解：$连接CD$，$∵AB=BC，∠BAC=30$°，

∴$∠ACB=∠BAC=30$°，

∴$∠B=180°-30°-30°=120°$，

∴$∠D=180°-∠B=60°$，

∵$AD是直径$，

∴$∠ACD=90°$，

∵$∠CAD=30°，AD=8$，

$\therefore C D=\frac{1}{2} A D=4$

$\therefore A C=\sqrt{A D^{2}-C D^{2}}=\sqrt{8^{2}-4^{2}}=4 \sqrt{3}$.

问题要点

直线与圆的位置关系

答案解析

解：在等腰三角形 $A B C$ 中， 作 $A D \perp B C$ 于 $D$,

则 $B D=C D=\frac{1}{2} B C=2$,

$\therefore A D=\sqrt{A B^{2}-B D^{2}}=\sqrt{6^{2}-2^{2}}=4 \sqrt{2}>5$,

即 $d>r$，

$\therefore$ 该圆与底边的位置关系是相离.

问题要点

切线的判定

答案解析

解：A. $\quad \because \angle A=50^{\circ},\quad \angle C=40^{\circ}$

$\therefore \angle B=180^{\circ}-\angle A-\angle C=90^{\circ}$

$\therefore B C \perp A B$

$\because点B$ 在圆$A$上

$\therefore A B$ 是圆A的半径

$\therefore B C$ 是圆A切线；

C：∵∠B-∠C=∠A，

∴∠B=∠A+∠C，

∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠B=90°，

∴BC⊥AB，

∵点B在⊙A上，

∴AB是⊙A的半径，

∴BC是⊙A切线；

C、∵AB²+BC²=AC²，

∴△ABC是直角三角形，∠B=90°，

∴BC⊥AB，

∵点B在⊙A上，

∴AB是⊙A的半径，

∴BC是⊙A切线；

D、∵⊙A与AC的交点是AC中点，

∴AB=$\frac{1}{2}$AC，但不能证出∠B=90°，

∴不能判定BC是⊙A切线；

问题要点

切线的性质

答案解析

$\because P A,P B$ 是圆O切线 $,A,B$ 为切点

$\therefore \angle O A P=\angle O B P=90^{\circ}$

$\because \angle P=40^{\circ}$

$\therefore \angle A O B=360^{\circ}-\angle O A P-\angle P-\angle O B P=140^{\circ}$

$\because O A=O B$

$\therefore \angle B A C=\angle O B A=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle A O B\right)=20^{\circ}$

解：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D，

∴AC=EC，DE=DB，PA=PB

∵△PCD的周长等于3，

∴PA+PB=3，

∴PA=$\frac{3}{2}$.

解：AF是圆O的直径，五边形ABCDE是圆O的内接正五边形， $\therefore \widehat{C F}=\widehat{D F},\widehat{B C}=\widehat{D E},\angle B A E=108^{\circ}$,

$\therefore \widehat{B F}=\widehat{E F}$，

$\therefore \angle B A F=\frac{1}{2} \angle B A E=54^{\circ}$，

$\therefore \angle B D F=\angle B A F=54^{\circ}$.

如图D-24-36所示，连接$O C$，

∵$\angle A O B = 120 ^ {\circ}$，$C$为$\hat {A B}$的中点，

∴$\angle A O C = \angle B O C = 60 ^ {\circ}$.

∵$O A = O C = O B = 2$，

∴$\triangle A O C$，$\triangle B O C$是等边三角形，

∴$A C = B C = O A = 2$，

∴$\triangle A O C$的边$A C$上的高是$\sqrt {2 ^ {2} - 1 ^ {2}} = \sqrt {3}$.

∴$S _ {\text {阴影}} = S _ {\text {扇形 O A B}} - 2S _ {\triangle A O C}$$= \frac {120 \pi \times 2 ^ {2}} {360} - 2 \times \frac {1} {2} \times 2 \times \sqrt {3} = \frac {4 \pi} {3} - 2 \sqrt {3}$.

问题要点

注意本题易错误地认为任意取出两个球。共可能出现“两红”“两黄”“一红一黄”三种可能的结果，导致求得取出一个红球和一个黄球的概率为$\frac {1} {3}$.

答案解析

因考虑问题不全面而出错. 我们不妨把四个球分别记为红₁，红₂，黄₁，黄₂，从中摸出两个球的所有可能结果为（红₁，红₂）（红₁，黄₁）（红₁，黄₂）、（红₂，黄₁）、（红₂，黄₂）、（黄₁，黄₂）共6种，共中一红一黄共有4种，故共概率$P =\frac {4} {6} = \frac {2} {3}$.故选选项2-.

考查介词的用法。句意：—— 妈妈，你想喝点什么吗？——

是的，我想要一杯什么也不加的咖啡。with 具有，带有；without 没有；for 为了；to 到。根据空格处后的 nothing 可知，这里是 with nothing“什么也不加”，故选选项A。