因为(12,45)=3|5, 所以同余式有解 , 而且解的个数为3

又同余式等价于 4x＋5≡0(mod 15), 即 4x＋5 =15 y

我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是 (10,3)

即定理 4.1 中的 x0=10

因此同余式的 3 个解为

x≡10(mod 45)

x≡ 10＋15(mod 45) ≡25(mod 45)

x≡10+30(mod 45) ≡40(mod 45)

n/3+n²/2+n³/6是整数

证明 设 n是正数 , 并且 n≡-1(mod 4)

如果n=x²+ y ²

则因为对于模 4, x, y 只与 0,1,2,-1 等同余

所以x ², y² 只能与 0,1 同余

所以x²+y²≡0,1,2(mod 4)

而这与 n≡-1(mod 4) 的假设不符

即定理的结论成立

解：依题意得，

2816=407 x 6+374;

407=374 x 1+33;

374=33 x 11+11;

33=3 x 11.

由表可知，x=-83, y=12 时，才使等式407x+2816y=11成立。

（1）证明：不妨设（ 21n+4,14n+3 ）=d,则

d|21n+4,d|14n+3,也有 d|2 (21n+4),d|3 (14n+3), 则 d|3 14n+9-21n x 2-8

即 d|1,则 d=1,即(21n+4,14n+3)=1.