如图,直线CP是AB的中垂线且交AB于P,其中AP=2CP.甲、乙两人想在AB上取两点D、E,使得AD=DC=CE=EB,其作法如下:
(甲)作∠ACP、∠BCP之角平分线,分别交AB于D、E,则D、E即为所求;
(乙)作AC、BC之中垂线,分别交AB于D、E,则D、E即为所求.
对于甲、乙两人的作法,下列判断何者正确( )
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答案解析
分析:
先根据直线CP是AB的中垂线且交AB于P,判断出△ABC是等腰三角形,即AC=BC,再根据线段垂直平分线的性质作出AD=DC=CE=EB.
解答:
解:甲错误,乙正确.
证明:甲:虽然CP=$\frac {1}{2}$AP,
但∠A≠$\frac {1}{2}$∠ACP,
即∠A≠∠ACD.
乙:∵CP是线段AB的中垂线,
∴即AC=BC
作AC、BC之中垂线分别交AB于D、E,
∴AD=CD,BE=BC,
在△ACP和△BCP中,$\left\{\begin{matrix} AC=BC \ AP=BP \ CP=CP \ \end{matrix}\right.$
∴△ACP≌△BCP,
∴∠A=∠B,
同理可得,∠A=∠ACD,∠B=∠BCE,
∴∠A=∠B=∠ACD=∠BCE,
在△ACD和△BCE中,$\left\{\begin{matrix} ∠A=∠B \ AC=BC \ ∠ACD=∠BCE \ \end{matrix}\right.$
∴△ACD≌△BCE,
∴AD=EB,
∵AD=DC,EB=CE,
∴AD=DC=EB=CE.
故选D.
点评:
本题主要考查线段垂直平分线的性质.