拔尖题
13．已知抛物线y＝1a(x－2)(x＋a)(a＞0)与x轴交于点B，C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．
(1)若抛物线过点M(－2，－2)，求实数a的值；
(2)在(1)的条件下，解答下列问题；
①求出△BCE的面积；
②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH＋EH的值最小，直接写出点H的坐标．
14．已知二次函数y＝mx2＋nx＋p图象的顶点横坐标是2，与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)，x1<0 (1)求证：n＋4m＝0； (2)求m，n的值； (3)当p>0且二次函数图象与直线y＝x＋3仅有一个交点时，求二次函数的最大值． 15．在平面直角坐标系中，顶点为(3,4)的抛物线交y轴于A点，交x轴与B，C两点(点B在点C的左侧)，已知A点坐标为(0，－5)． (1)求此抛物线的解析式； (2)过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C的位置关系，并给出证明； (3)在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 答案： 13．解：(1)将M(－2，－2)代入抛物线解析式，得 －2＝1a(－2－2)(－2＋a)， 解得a＝4. (2)①由(1)，得y＝14(x－2)(x＋4)， 当y＝0时，得0＝14(x－2)(x＋4)， 解得x1＝2，x2＝－4. ∵点B在点C的左侧，∴B(－4,0)，C(2,0)． 当x＝0时，得y＝－2，即E(0，－2)． ∴S△BCE＝12×6×2＝6. ②由抛物线解析式y＝14(x－2)(x＋4)，得对称轴为直线x＝－1， 根据C与B关于抛物线对称轴x＝－1对称，连接BE，与对称轴交于点H，即为所求． 设直线BE的解析式为y＝kx＋b， 将B(－4,0)与E(0，－2)代入，得－4k＋b＝0，b＝－2， 解得k＝－12，b＝－2.∴直线BE的解析式为y＝－12x－2. 将x＝－1代入，得y＝12－2＝－32， 则点H－1，－32. 14．(1)证明：∵二次函数y＝mx2＋nx＋p图象的顶点横坐标是2， ∴抛物线的对称轴为x＝2，即－n2m＝2， 化简，得n＋4m＝0. (2)解：∵二次函数y＝mx2＋nx＋p与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)，x1＜0＜x2， ∴OA＝－x1，OB＝x2，x1＋x2＝－nm，x1?x2＝pm. 令x＝0，得y＝p，∴C(0，p)．∴OC＝|p|. 由三角函数定义，得tan∠CAO＝OCOA＝－|p|x1，tan∠CBO＝OCOB＝|p|x2. ∵tan∠CAO－tan∠CBO＝1，即－|p|x1－|p|x2＝1. 化简，得x1＋x2x1?x2＝－1|p|. 将x1＋x2＝－nm，x1?x2＝pm代入，得－nmpm＝－1|p|化简，得?n＝p|p|＝±1. 由(1)知n＋4m＝0， ∴当n＝1时，m＝－14；当n＝－1时，m＝14. ∴m，n的值为：m＝14，n＝－1(此时抛物线开口向上)或m＝－14，n＝1(此时抛物线开口向下)． (3)解：由(2)知，当p＞0时，n＝1，m＝－14， ∴抛物线解析式为：y＝－14x2＋x＋p. 联立抛物线y＝－14x2＋x＋p与直线y＝x＋3解析式得到－14x2＋x＋p＝x＋3， 化简，得x2－4(p－3)＝0. ∵二次函数图象与直线y＝x＋3仅有一个交点， ∴一元二次方程根的判别式等于0， 即Δ＝02＋16(p－3)＝0，解得p＝3. ∴y＝－14x2＋x＋3＝－14(x－2)2＋4. 当x＝2时，二次函数有最大值，最大值为4. 15．解：(1)设此抛物线的解析式为y＝a(x－3)2＋4， 此抛物线过点A(0，－5)， ∴－5＝a(0－3)2＋4，∴a＝－1. ∴抛物线的解析式为y＝－(x－3)2＋4， 即y＝－x2＋6x－5. (2)抛物线的对称轴与⊙C相离． 证明：令y＝0，即－x2＋6x－5＝0，得x＝1或x＝5， ∴B(1,0)，C(5,0)． 设切点为E，连接CE， 由题意，得，Rt△ABO∽Rt△BCE. ∴ABBC＝OBCE，即12＋524＝1CE， 解得CE＝426. ∵以点C为圆心的圆与直线BD相切，⊙C的半径为r＝d＝426. 又点C到抛物线对称轴的距离为5－3＝2，而2>426. 则此时抛物线的对称轴与⊙C相离． (3)假设存在满足条件的点P(xp，yp)， ∵A(0，－5)，C(5,0)， ∴AC2＝50， AP2＝(xp－0)2＋(yp＋5)2＝x2p＋y2p＋10yp＋25，CP2＝(xp－5)2＋(yp－0)2＝x2p＋y2p－10xp＋25. ①当∠A＝90°时，在Rt△CAP中， 由勾股定理，得AC2＋AP2＝CP2， ∴50＋x2p＋y2p＋10yp＋25＝x2p＋y2p－10xp＋25， 整理，得xp＋yp＋5＝0. ∵点P(xp，yp)在抛物线y＝－x2＋6x－5上， ∴yp＝－x2p＋6xp－5. ∴xp＋(－x2p＋6xp－5)＋5＝0， 解得xp＝7或xp＝0，∴yp＝－12或yp＝－5. ∴点P为(7，－12)或(0，－5)(舍去)． ②当∠C＝90°时，在Rt△ACP中， 由勾股定理，得AC2＋CP2＝AP2， ∴50＋x2p＋y2p－10xp＋25＝x2p＋y2p＋10yp＋25， 整理，得xp＋yp－5＝0. ∵点P(xp，yp)在抛物线y＝－x2＋6x－5上， ∴yp＝－x2p＋6xp－5， ∴xp＋(－x2p＋6xp－5)－5＝0， 解得xp＝2或xp＝5，∴yp＝3或yp＝0. ∴点P为(2,3)或(5,0)(舍去) 综上所述，满足条件的点P的坐标为(7，－12)或(2,3)．