拔尖题

13.已知抛物线y=1a(x-2)(x+a)(a>0)与x轴交于点B,C,与y轴交于点E,且点B在点C的左侧.

(1)若抛物线过点M(-2,-2),求实数a的值;

(2)在(1)的条件下,解答下列问题;

①求出△BCE的面积;

②在抛物线的对称轴上找一点H,使CH+EH的值最小,直接写出点H的坐标.

14.已知二次函数y=mx2+nx+p图象的顶点横坐标是2,与x轴交于A(x1,0),B(x2,0),x1<0

(1)求证:n+4m=0;

(2)求m,n的值;

(3)当p>0且二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点时,求二次函数的最大值.

15.在平面直角坐标系中,顶点为(3,4)的抛物线交y轴于A点,交x轴与B,C两点(点B在点C的左侧),已知A点坐标为(0,-5).

(1)求此抛物线的解析式;

(2)过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D,如果以点C为圆心的圆与直线BD相切,请判断抛物线的对称轴与⊙C的位置关系,并给出证明;

(3)在抛物线上是否存在一点P,使△ACP是以AC为直角边的直角三角形.若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.

答案:

13.解:(1)将M(-2,-2)代入抛物线解析式,得

-2=1a(-2-2)(-2+a),

解得a=4.

(2)①由(1),得y=14(x-2)(x+4),

当y=0时,得0=14(x-2)(x+4),

解得x1=2,x2=-4.

∵点B在点C的左侧,∴B(-4,0),C(2,0).

当x=0时,得y=-2,即E(0,-2).

∴S△BCE=12×6×2=6.

②由抛物线解析式y=14(x-2)(x+4),得对称轴为直线x=-1,

根据C与B关于抛物线对称轴x=-1对称,连接BE,与对称轴交于点H,即为所求.

设直线BE的解析式为y=kx+b,

将B(-4,0)与E(0,-2)代入,得-4k+b=0,b=-2,

解得k=-12,b=-2.∴直线BE的解析式为y=-12x-2.

将x=-1代入,得y=12-2=-32,

则点H-1,-32.

14.(1)证明:∵二次函数y=mx2+nx+p图象的顶点横坐标是2,

∴抛物线的对称轴为x=2,即-n2m=2,

化简,得n+4m=0.

(2)解:∵二次函数y=mx2+nx+p与x轴交于A(x1,0),B(x2,0),x1<0<x2,

∴OA=-x1,OB=x2,x1+x2=-nm,x1?x2=pm.

令x=0,得y=p,∴C(0,p).∴OC=|p|.

由三角函数定义,得tan∠CAO=OCOA=-|p|x1,tan∠CBO=OCOB=|p|x2.

∵tan∠CAO-tan∠CBO=1,即-|p|x1-|p|x2=1.

化简,得x1+x2x1?x2=-1|p|.

将x1+x2=-nm,x1?x2=pm代入,得-nmpm=-1|p|化简,得?n=p|p|=±1.

由(1)知n+4m=0,

∴当n=1时,m=-14;当n=-1时,m=14.

∴m,n的值为:m=14,n=-1(此时抛物线开口向上)或m=-14,n=1(此时抛物线开口向下).

(3)解:由(2)知,当p>0时,n=1,m=-14,

∴抛物线解析式为:y=-14x2+x+p.

联立抛物线y=-14x2+x+p与直线y=x+3解析式得到-14x2+x+p=x+3,

化简,得x2-4(p-3)=0.

∵二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点,

∴一元二次方程根的判别式等于0,

即Δ=02+16(p-3)=0,解得p=3.

∴y=-14x2+x+3=-14(x-2)2+4.

当x=2时,二次函数有最大值,最大值为4.

15.解:(1)设此抛物线的解析式为y=a(x-3)2+4,

此抛物线过点A(0,-5),

∴-5=a(0-3)2+4,∴a=-1.

∴抛物线的解析式为y=-(x-3)2+4,

即y=-x2+6x-5.

(2)抛物线的对称轴与⊙C相离.

证明:令y=0,即-x2+6x-5=0,得x=1或x=5,

∴B(1,0),C(5,0).

设切点为E,连接CE,

由题意,得,Rt△ABO∽Rt△BCE.

∴ABBC=OBCE,即12+524=1CE,

解得CE=426.

∵以点C为圆心的圆与直线BD相切,⊙C的半径为r=d=426.

又点C到抛物线对称轴的距离为5-3=2,而2>426.

则此时抛物线的对称轴与⊙C相离.

(3)假设存在满足条件的点P(xp,yp),

∵A(0,-5),C(5,0),

∴AC2=50,

AP2=(xp-0)2+(yp+5)2=x2p+y2p+10yp+25,CP2=(xp-5)2+(yp-0)2=x2p+y2p-10xp+25.

①当∠A=90°时,在Rt△CAP中,

由勾股定理,得AC2+AP2=CP2,

∴50+x2p+y2p+10yp+25=x2p+y2p-10xp+25,

整理,得xp+yp+5=0.

∵点P(xp,yp)在抛物线y=-x2+6x-5上,

∴yp=-x2p+6xp-5.

∴xp+(-x2p+6xp-5)+5=0,

解得xp=7或xp=0,∴yp=-12或yp=-5.

∴点P为(7,-12)或(0,-5)(舍去).

②当∠C=90°时,在Rt△ACP中,

由勾股定理,得AC2+CP2=AP2,

∴50+x2p+y2p-10xp+25=x2p+y2p+10yp+25,

整理,得xp+yp-5=0.

∵点P(xp,yp)在抛物线y=-x2+6x-5上,

∴yp=-x2p+6xp-5,

∴xp+(-x2p+6xp-5)-5=0,

解得xp=2或xp=5,∴yp=3或yp=0.

∴点P为(2,3)或(5,0)(舍去)

综上所述,满足条件的点P的坐标为(7,-12)或(2,3).