(1)罗素悖论

一天，萨维尔村的理发师张贴了一个标语:我给村里所有不理发的人理发。所以有人问他，“谁给你理发？”理发师突然哑口无言。

1874年，德国数学家康托创立了集合论，它很快渗透到大多数分支并成为它们的基础。到19世纪末，几乎所有的数学都以集合论为基础。这时，集合论出现了一系列矛盾的结果。特别是，罗素提出了反映在1902年《理发师的故事》中的悖论，这一悖论极其简单、清晰、通俗。结果，数学的基础被被动地动摇了。这就是所谓的第三次“数学危机”。此后，为了克服这些悖论，数学家们做了大量的研究工作，产生了大量的新成果，同时也带来了数学概念的革命。

(2)骗子悖论:

"我说的这句话是谎言。"公元前4世纪希腊数学家欧几里德提出的悖论仍然困扰着数学家和逻辑学家。这就是著名的说谎者悖论。类似的悖论最早出现在公元前6世纪，当时克里特岛哲学家厄庇墨尼特曾说过:“所有克里特人都在撒谎。”中国古代《墨经》中也有一句非常相似的话:“字是最矛盾的，字是最矛盾的。”意思是:我认为一切都是错的，这是错的，因为这本身就是一个词。

说谎者悖论有许多变体，例如，在同一张纸上写下以下两句话:

下一句是谎言。

最后一句是真的。

更有趣的是下面的对话。甲对乙说，“你接下来会说‘不’，是吗？请用“是”或“否”来回答！

另一个例子。有一个虔诚的信徒在他的演讲中一直说上帝是万能的，可以做任何事情。一个过路人问道:“上帝能创造一块他举不起的石头吗？”