如图，在坐标平面上，Rt△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，AB垂直x轴，M为Rt△ABC的外心．若A点坐标为(3，4)，M点坐标为(-1，1)，则B点坐标为何( )
分析：
本题可先根据坐标系中线段中点的计算方法解出C点的坐标，再根据AB垂直x轴，BC平行y轴即可得出B点的坐标．
解答：
解：如图：
作MN∥BC，
∵∠ABC=90°，AB垂直x轴，M为Rt△ABC的外心，
∴AM=CM，AM：CM=AN：BN，MN∥x轴．
∵若A点坐标为(3，4)，M点坐标为(-1，1)，
∴N点的坐标为(3，1)，
∴B点的坐标为(3，-2)，
故选B．
点评：
此题考查了外心的性质、直角三角形的性质及平行线的性质，解题的关键是充分运用数形结合的思想从而解决问题．
如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC=13，BC=24，则⊙O的半径为( )
分析：
可通过构建直角三角形进行求解．连接OA，OC，那么OA⊥BC．在直角三角形ACD中，有AC，CD的值，AD就能求出了；在直角三角形ODC中，用半径表示出OD，OC，然后根据勾股定理就能求出半径了．
解答：
解：连接OA交BC于点D，连接OC，OB，
∵AB=AC=13，
∴$\overset{\frown}{AB}$=$\overset{\frown}{AC}$，
∴∠AOB=∠AOC，
∵OB=OC，
∴AO⊥BC，CD=$\frac {1}{2}$BC=12
在Rt△ACD中，AC=13，CD=12
所以AD=$\sqrt {}$=5
设⊙O的半径为r
则在Rt△OCD中，OD=r-5，CD=12，OC=r
所以(r-5)_+12_=r_
解得r=16.9，选A．
点评：
本题主要考查了垂径定理和勾股定理的综合运用．
若一个直角三角形的两边分别为6和8，则这个直角三角形外接圆直径是（ ）
分析：
本题应分两种情况进行讨论，①当8是直角边时，根据勾股定理得到斜边是10，这个直角三角形外接圆直径是10；②当8是斜边时，直角三角形外接圆直径是8．
解答：
应分为两种情况：①当8是直角边时，斜边是10，这个直角三角形外接圆直径是10；
②当8是斜边时，直角三角形外接圆直径是8．
故选D．
点评：
本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长是圆的直径．
如图，△ABC的外心坐标是( )
分析：
根据三角形外心的定义作AB与BC的垂直平分线，它们相交于P点，然后写出P点坐标即可．
解答：
解：作AB与BC的垂直平分线，它们相交于点P(-2，-1)．
故选B．
点评：
本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆；三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了坐标与图形性质．
直角三角形两直角边长分别为$\sqrt {3}$和1，那么它的外接圆的直径是（ ）
分析：
因为直角三角形的外接圆的直径是直角三角形的斜边，所以求出直径即可．
解答：
解：∵直角三角形两直角边长分别为$\sqrt {3}$和1，
∴直角三角形的斜边为：2，
∴它的外接圆的直径是：2．
故选：B．
点评：
此题主要考查了直角三角形外接圆的性质，得出直角三角形斜边与外接圆直径关系是解题关键．
在Rt△ABC中，AB=12，BC=16，那么这个三角形的外接圆的直径是（ ）
分析：
这个三角形的外接圆直径是斜边长，有两种情况情况：(1 )斜边是BC，即外接圆直径是8；(2 )斜边是AC，即外接圆直径是斜边的一半．
解答：
解：根据题意得
(1)斜边是BC，即外接圆直径是16；
(2 )斜边是AC，即外接圆直径是$\sqrt {}$=20；
故选D．
点评：
本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆．
Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则它的外心与直角顶点的距离是为（ ）
分析：
先利用勾股定理计算出AB=5cm，再利用直角三角形的外心为斜边的中点得到外接圆的半径为2.5cm，于是得到它的外心与直角顶点的距离．
解答：
解：Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，
∴AB=$\sqrt {}$=5cm，
∴Rt△ABC为外接圆的直径为5cm，
即△ABC的外心为AB的中点，
∴它的外心与直角顶点的距离是$\frac {5}{2}$cm．
故选B．
点评：
本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．掌握直角三角形的外心为斜边的中点是解题的关键．
已知Rt△ABC的两直角边的长分别为9，12，则△ABC外接圆的半径是（ ）
分析：
先根据勾股定理计算出斜边为15，由于直角三角形的斜边为它的外接圆的直径，由此可得到△ABC外接圆的半径．
解答：
解：因为直角三角形的斜边=$\sqrt {}$=15，
所以△ABC外接圆的半径为$\frac {15}{2}$．
故选D．
点评：
本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．记住直角三角形的外心为斜边的中点．
如图，矩形ABCD的长为6，宽为3，点O$_1$为矩形的中心，⊙O$_2$的半径为1，O$_1$O$_2$⊥AB于点P，O$_1$O$_2$=6．若⊙O$_2$绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O$_2$与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现( )
分析：
根据题意作出图形，直接写出答案即可．
解答：
解：如图，⊙O$_2$与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现4次，
故选：B．
点评：
本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．
已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
分析：
根据直线与圆的位置关系来判定．判断直线和圆的位置关系：①直线l和⊙O相交⇔d＜r；②直线l和⊙O相切⇔d=r；③直线l和⊙O相离⇔d＞r．分OP垂直于直线l，OP不垂直直线l两种情况讨论．
解答：
当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=2=r，⊙O与l相切；
当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＜2=r，⊙O与直线l相交．
故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．
故选D．
点评：
本题考查直线与圆的位置关系．解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=4cm，以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是( )
分析：
作CD⊥AB于点D．根据三角函数求CD的长，与圆的半径比较，作出判断．
解答：
解：作CD⊥AB于点D．
∵∠B=30°，BC=4cm，
∴CD=$\frac {1}{2}$BC=2cm，
即CD等于圆的半径．
∵CD⊥AB，
∴AB与⊙C相切．
故选B．
点评：
此题考查直线与圆的位置关系的判定方法．通常根据圆的半径R与圆心到直线的距离d的大小判断：
当R＞d时，直线与圆相交；当R=d时，直线与圆相切；当R＜d时，直线与圆相离．