圆周率是一个非常著名的数字。从有文字记载的历史开始，这个数字就引起了外行人和学者的兴趣。作为一个非常重要的常数，周长比首先被用来解决圆的计算。仅仅基于这一点，找出它的精确近似值是一个极其紧迫的问题。情况也是如此。几千年来，古今中外的几代数学家都为这个目标贡献了他们的智慧和劳动。回顾历史，人类对π的理解过程反映了数学和计算技术发展的一个方面。π的研究在一定程度上反映了这个地区或时代的数学水平。德国数学史学家康托说:“一个国家历史上计算出来的圆周率的准确性可以作为衡量该国当时数学发展水平的指标。”直到19世纪早期，寻找圆周率的值应该说是数学中的头号问题。为了获得圆周率的价值，人类走过了漫长而曲折的道路，它的历史是有趣的。我们可以把这个计算过程分成几个阶段。在实验期间，通过实验估计π值，这是π计算的第一阶段。π值的估计基本上是基于观察或实验，并且是基于圆的周长和直径的实际测量而获得的。在古代，π = 3这个值实际上被使用了很长时间。它最早见于基督教圣经的书面章节，圆周率为3。这段描述的事件发生在公元前950年左右。其他国家如巴比伦、印度和中国长期以来一直使用粗糙、简单和实用的价值3。在中国的刘辉之前，“元敬一和星期三”被广泛流传。中国的第一本书《周笔经suan》记录了这样一个结论，即“三周领先一周”在我国，木匠有两句传世的格言:他们被称为“星期三的直径是1，正方形是5和7”，这意味着直径为1的圆的周长约为3，正方形的边长约为5，对角线长度约为7。这反映了早期人们对圆周率和√2这两个无理数的粗略估计。在东汉时期，政府也明确规定圆周率应为3作为计算面积的标准。后者称之为“古代汇率”。早期的人也使用其他粗糙的方法。例如，古埃及人和希腊人使用放置在圆上的谷物，通过比较谷物与正方形的数量来获得数值。或者用一个均匀重量的木板切成一个圆和一个正方形来称重并比较这些值…这样，可以得到一个稍好的圆周率值。例如，古埃及人用4 (8/9)2 = 3.1605持续了大约4000年。在印度，公元前6世纪使用π= √10 = 3.162。在中国东汉和西汉之交，新王朝的王莽命令刘欣制造大量的容器？？卢佳慎重欢迎。刘欣在制作标准容器的过程中需要用到圆周率的值。为此，他还通过一些实验得到了一些关于圆周率的非均匀近似值。现在，根据铭文，计算值分别为3.1547、3.1992、3.1498和3.2031。周三，古老的利率有所提高。当主要估计圆形区域的面积时，这种人类探索的结果对生产没有太大影响，但是不适合进行器具或其他计算。在几何方法时期，基于直观推测或物理测量计算π值的实验方法所获得的结果相当粗糙。阿基米德是第一个真正将圆周率的计算建立在科学基础上的人。他是第一个科学研究这一常数的人。他是第一个提出用数学方法代替测量来使π值精确到任何精度的人。结果，pi计算的第二阶段开始了。
圆的周长大于内接四边形，小于外接四边形，所以2 √ 2< π< 4。当然，这是一个可怕的例子。据说阿基米德用一个规则的96边形来计算他的射程。
阿基米德找到圆周率更精确近似值的方法反映在他的论文《圆的测定》中。在这本书里，阿基米德第一次使用上限和下限来确定π的近似值。他用几何方法证明“圆的周长与直径之比小于3+(1/7)且大于3+(10/71)”，他还提供了误差的估计。重要的是，理论上，这种方法可以获得更精确的pi值。大约在公元150年，希腊天文学家托勒密达到π = 3.1416，自阿基米德以来取得了巨大的进步。
切除。毕达哥拉斯定理被连续地用来计算一个规则的N边形的边长。
在我国，数学家刘辉首先得到了一个比较精确的圆周率。公元263年左右，刘徽提出了著名的包皮环切术，得出π = 3.14，俗称“惠率”。他指出这不是一个近似值。虽然他提出割包皮的时间比阿基米德晚，但他的方法确实比阿基米德的方法更奇妙。切片仅使用内接正多边形来确定周长比的上限和下限，这比阿基米德使用内接和外接正多边形要简单得多。此外，有人认为刘辉在切割圆上提供了一个极好的修整方法，所以他通过对192边形的几个粗略近似的简单加权平均，获得了具有4个有效数字的pi = 3927/1250 = 3.1416。而这个结果，正如刘辉自己指出的，如果这个结果是通过切割一个圆来计算的，那么它需要被切割到3072个边。这种整理方法的效果非常好。这种神奇的修整技术是切割循环中最精彩的部分。不幸的是，由于人们对它缺乏了解，它已经被埋藏了很长时间。恐怕大家对祖冲之的贡献都比较熟悉。为此，隋书？“宋末，南徐州从事祖冲之的秘法。以1亿元的直径作为它的测量点，周长丰富，3米，1英尺，4英寸，1分钟，5美分，9美分，2秒，7突然？在数完三丈、一英尺四英寸、一分钟、五美分、九美分、两秒钟、六秒钟后，一个正数是多余的？介于两个极限之间。密度:113圆直径和355圆周长。关于速率，圆直径7，星期二12。”这一记录指出了祖冲之对圆周率的两大贡献。一是获得3.1415926< π< 3.1415927的周长比。另一种是获得π的两个近似分数，即近似比值为22/7。密度是355/113。他计算出的π的8个可靠数字不仅是当时最精确的π，而且保持了900多年的世界纪录。结果，一些数学家提议把这个结果命名为“吕祖”。这个结果是怎么产生的？追根溯源，祖冲之能够取得这一非凡的成就，是基于对刘辉包皮环切术的继承和发展。因此，当我们赞美祖冲之的成就时，不要忘记他的成就是因为他站在刘辉的肩膀上，一个伟大的数学人物。后世已经计算出，为了简单地通过计算圆内接多边形的边长来获得这个结果，有必要计算圆内接多边形的规则12288边形来获得这样一个精确的值。祖冲之有没有用其他巧妙的方法来简化计算？这并不为人所知，因为记录他研究成果的《作曲技术》一书早已失传。这在中国数学发展史上是一件非常令人遗憾的事情。
中国发行祖冲之纪念邮票
祖冲之的研究成果享有世界声誉:巴黎“发现宫”科学博物馆的墙上写着对祖冲之获得的圆周率的介绍。莫斯科大学礼堂的走廊上镶嵌着祖冲之的大理石雕像，月亮上有一座以祖冲之命名的环形山。对祖冲之圆周率的第二个贡献是他用了两个简单的分数，特别是密度比来近似圆周率，这是人们通常不太注意的。然而，事实上，后者在数学中更重要。密度非常接近π，但是形式非常简单和漂亮，只用数字1，3和5。数学史学家梁宗举教授证实，在所有分母小于16604的分数中，没有比密度比更接近π的分数。在国外，是在祖冲之死后1000多年，西方人才得到了这个结果。可以看出，秘密利率的提议是一个非常复杂的问题。人们自然想知道他是如何得到这个结果的。他用什么方法把圆周率从用小数表示的近似值转换成近似分数？这个问题一直受到数学史家的关注。由于文献的流失，祖冲之寻求真理的方法不再为人所知。后人对此有各种各样的推测。让我们先看看外国历史上的作品，希望能提供一些信息。1573年，德国人奥托提出了这个结果。他用类似加法的方法“合成”了阿基米德的22/7和托勒密的377/120:(3722)/(120-7)= 355/113。1585年，荷兰人安图尼用阿基米德的方法获得:333/106< π< 377/120。以两者作为π的母近似值，对分子和分母进行平均，并通过加法过程获得结果:3 ((15+17)/(106+120) = 355/113。虽然两者都获得了祖冲之密度，但使用的方法都是巧合，没有理由谈论它们。在日本，在17世纪关小和的重要著作《阔约算法》第4卷中，他创造了计算圆周率的零归约技术，其实质是用加法过程来计算近似分数。他用3和4作为母近似值，依次加6次得到祖冲之比，加112次得到密度比。他的学生改进了这种一步一步愚蠢的方法，并提出了一种从邻近亏量和余数近似(实际上，我们前面已经提到过的加法过程)进行邻近加法的方法。从3和4开始，添加速率达到大约6倍，第7次为25/8，附近的22/7添加为47/15，依此类推。只需要23次添加就可以获得密度速率。在《中国数学史》(1931年)中，钱宗聪先生提出了祖冲之采用“日本调整法”或加权加法过程，这是由何承天首先提出的。他设想了《祖冲之》中寻找秘密率的过程:以徽章率157/50和近似率22/7为母近似值，计算加法权重x=9，然后(157+22 x，9)/(50+7 x 9) = 355/113，从而一次获得秘密率。钱先生说:“我也想在攻击实施后用这种技术来创造秘密率。”另一种推测是使用连续计分法。自从《算术九章》一书问世以来，寻找两个自然数的最大公约数的相位约简技术一直很流行，因此使用这个工具来寻找近似分数应该是相对自然的。因此，有人建议祖冲之在得到剩余两个数后，可以用这个工具把3.14159265表示为一个连续分数，并得到它的渐近分数:3，22/7，333/106，355/113，102573/32650...最后，355/113作为pi的近似值，它具有很高的精度，但分子和分母很小。至于求上述pi的渐近分数的具体方法，这里就省略了。你也可以用我们之前介绍的方法自己去发现。英国的约瑟夫·李约瑟博士持有这一观点。在《中国科学技术史》第19章第3卷中，他讨论了祖冲之的秘密率，并说:“秘密率分数是连续分数的渐近数，因此是一个非凡的成就。”中国将回顾国外取得的成就。1150年，印度数学家普什卡罗计算出π= 3927/1250 = 3.1416。1424年，中亚的天文学家和数学家凯西计算了3× 228 = 805，306，368边上的内接和外接正多边形的周长，并找到了π值。他的结果是π = 3.14159265358979325有17个精确的数字。这是第一次外国打破祖冲之的记录。16世纪法国数学家维德用阿基米德的方法计算出π的近似值，并用6×216的规则形状计算出π值的小数点后9位。他仍然使用阿基米德的方法，但是吠陀有比阿基米德更先进的工具:十进制位置系统。17世纪初，德国人鲁道夫花了几乎一生的时间研究这个问题。他还将新的十进制系统与早期的阿基米德法结合起来，但他没有从正六边形开始，而是把它的边数加倍。他从一个正方形开始，总是推导出一个有262条边的正多边形，大约是4，610，000，000，000，000，000！这样，就可以计算出35位小数。为了纪念他的非凡成就，圆周率在德国被称为“鲁道夫数”。然而，用几何方法找到它的值需要大量的计算，如果这样继续下去，贫穷的数学家们的生活不会有太大的改善。鲁道夫可以说达到了顶峰。经典方法引导数学家走得更远。如果他们继续前进，他们必须在方法上有所突破。数学分析出现在17世纪。这个锋利的工具解决了许多初等数学无法解决的问题。π的计算历史也进入了一个新的阶段。
在分析的过程中，人们开始摆脱计算多边形周长的困难，用无穷级数或无穷连通积来计算π。1593年，吠陀给了
这个不寻常的公式是π最早的解析表达式。即使在今天，我们也惊叹于这个公式的美丽。它表明π值只能借助于数字2通过一系列的加法、乘法、除法和平方根来计算。还有很多表达方式。正如沃利斯在1650年给出的那样:1706年，麦金建立了一个重要的公式，现在以他的名字命名:为了在分析中使用级数展开，他计算到小数点后100位。这种方法比可怜的鲁道夫花了大半辈子挑选的35位小数要简单得多。显然，级数方法宣告了经典方法的过时。从那以后，圆周率的计算就像一场马拉松比赛，一个接一个地记录下来:1844年，Dassel用这个公式计算了200个数字。自19世纪以来，类似的公式已经出现，π位数也迅速增加。1873年，赛克斯使用了麦金的一系列方法来计算系列公式中π到707位的小数。他花了20年时间才创下这一空前纪录。他死后，人们在他的墓碑上刻下了他一生辛勤工作的价值，以此来庆祝他顽强的意志和毅力。所以他在自己的墓碑上留下了他一生辛勤工作的成果:π小数点后707位。这个惊人的结果成为了接下来74年的标准。在接下来的半个世纪里，人们相信他的计算，甚至怀疑，没有办法检查它是否正确。那座1937年巴黎世博会发现馆的天井，仍然突出地刻着他的π值。几年后，数学家弗格森怀疑他的计算结果，他的怀疑是基于以下猜想:在π值中，虽然没有数字的规则排列，每个数字出现的机会应该是相同的。当他数谢克的结果时，他发现数字太不均衡了。所以我怀疑有一个错误。他使用当时最先进的计算工具，从1944年5月到1945年5月，计算了整整一年。1946年，弗格森发现528个错误(4，5)。超过100个Schex的价值都被卖掉了，消灭了可怜的Schex和他在15年中浪费的时间。对此，一些人嘲笑他说:除了记录阿基米德、费尔马和其他人的作品，数学史也会用一两行来说明谢克斯在1873年前将圆周率计算到小数点后707位的事实。这样，他可能会觉得他的生命没有浪费。如果情况确实如此，他的目标已经实现了。对于那些在世界各地不懈努力的人来说，感到不可理解可能是正常的。然而，这种嘲笑太残忍了。人们的能力不同。我们不能要求每个人都像费马和高斯一样。然而，不是一个伟大的数学家并不意味着我们不能对这个社会做出有限的贡献。每个人都有自己的优点。作为一个精力充沛的计算器，赛克斯愿意把他的大部分时间都花在这份工作上，没有任何报酬，最终为这个世界的知识宝库添了一块砖。我们不应该被他的不懈努力所感染，并从中获得一些启发和教育吗？1948年1月，弗格森和午餐联合出版了808位正确小数的圆周率。这是人工计算圆周率的最高记录。
在计算机时代，1946年，世界上第一台计算机ENIAC成功制造，标志着人类历史上计算机时代的开始。计算机的出现导致了计算机领域的一场根本性革命。1949年，ENIAC根据梅青公式计算出小数点后2035位(一个字2037位)，只花了70个小时，包括准备和完成时间。随着计算机的迅速发展，它们的记录经常被打破。
埃尼亚克:一个时代的开始
1973年，有人将圆周率计算到小数点后100万位，并将结果打印成200页的书，这是世界上最无聊的书。1989年，这一数字超过了10亿，1995年10月超过了64亿。1999年9月30日，《文汇报》报道说，日本东京大学教授金田康正要求2061.58亿位小数。如果这些数字被打印在A4大小的复印纸上，并且每页打印20，000个数字，那么这些纸将堆积到500到600米。根据最新报道:Kanata Yasumasa使用超级计算机计算圆周率小数点后的位数，改写了他两年前创造的记录。据报道，金田教授与日立制作所的工作人员合作，使用了目前计算能力排名世界第26位的超级计算机。使用新的计算方法，花了400多个小时来计算新的数字，比他在1999年9月计算的2611位小数位高出六倍。圆周率小数点后的第一个兆位是2，第一个兆位是5。如果你每秒读一个数字，大约需要40，000年才能完成。然而，现在打破记录，无论需要多少地方，都不会特别令人惊讶。实际上，π的计算过于精确，没有什么实际意义。现代科学技术领域中使用的十几个π值就足够了。如果用鲁道夫的35位小数位的π值来计算一个可以环绕太阳系的圆的周长，误差小于质子直径的百万分之一。我们也可以引用美国天文学家西蒙？纽科姆的话说明了这种计算的实用价值:“十个小数位足以使地球周长精确到一英寸以内，而三十个小数位可以使整个可见宇宙精确到即使最强大的显微镜也无法分辨的程度。”那么，为什么数学家们仍然像登山运动员一样尽最大努力向上攀登，并且继续寻找而不是停止探索圆周率呢？为什么它的十进制值如此吸引人？这可能是由于人类的好奇心和主导心态，但还有许多其他原因。
奔腾和圆周率之间的奇妙关系...
1.现在人们可以用它来测试或验证超级计算机的各种性能，特别是计算速度和计算过程的稳定性。这对计算机本身的改进至关重要。就在几年前，当英特尔推出奔腾时，它发现了一个小问题，这是通过运行π计算发现的。这也是超高精度π计算在今天仍然具有重要意义的原因之一。2.计算方法和思维可以产生新的概念和想法。尽管计算机的计算速度超出了任何人的想象，但数学家仍然有必要编写程序来指导计算机正确运行。事实上，确切地说，当我们把π的计算历史划分为一个电子计算机时期时，这并不意味着计算方法的改进，而只是计算工具的一次大飞跃。因此，如何改进计算技术，开发更好的计算公式，使公式能够更快地收敛，达到更高的精度，仍然是数学家们的重要课题。在这方面，本世纪的印度天才数学家拉玛努扬已经提出了一些好的结果。他发现了许多可以快速准确计算π近似的公式。他的观点开辟了一条更有效地计算π近似的途径。目前，他已经得到了用计算机计算π值的公式。至于这位传奇数学家的故事，我们不想在这本小书里介绍更多。然而，我希望每个人都能理解π的故事是关于人类的胜利，而不是机器的胜利。3.关于π的计算还有一个问题:我们能继续无限期地计算吗？答案是:不！根据犹大洛夫斯基的估计，我们最多是1077人。虽然我们离这个极限还很远，但它毕竟是一个极限。为了不受这个限制，需要在计算理论上有新的突破。我们前面提到的计算，不管用什么公式，都必须从头开始计算。一旦前面的某个数字出错，下面的值就完全没有意义了。你还记得令人遗憾的山克斯吗？他是历史上最痛苦的一课。4.因此，有些人怀疑是否有可能不从开始而是从中间开始计算。这个基本思想是寻找并行算法公式。1996年，圆周率的并行算法公式终于被发现，但这是一个16位的公式，所以容易得到的1000亿位值只有16位。是否有10进位并行计算公式仍然是未来数学中的一个大问题。5.作为一个无限序列，数学家们对将π扩展到数亿位很感兴趣。它们可以提供足够的数据来验证人们提出的一些理论问题，并发现许多有趣的性质。例如，在π的第十个过程中，十个数字中哪一个更细，哪一个更密？在π的数的展开中，有些数会比其他数出现得更频繁吗？也许它们不是完全随机的？这个想法并不无聊。只有那些思维敏锐的人才会问这样看似简单的问题，这是许多人已经习惯但却懒得问的问题。6.数学家弗格森第一次有了这个猜想:在π的数值公式中，每个数字出现的概率是相同的。正是他的猜想为发现和纠正考克斯计算π值的错误做出了巨大贡献。然而，猜想并不等于现实。弗格森想测试它，但什么也做不了。后世也想验证它，但是已知π值的位数太少了。即使数字太小，人们也有理由怀疑这个猜想的正确性。例如，数字0在开始时很少出现。前50位只有一个0，第一次出现在32位。然而，这种现象随着数据的增加而迅速改变:100位中有8个零；200位内有19个零。…1000万位数内的999，440个零；......60亿个零中有599，963，005个，几乎占1/10。其他数字呢？结果表明，每个约为1/10，有的多，有的少。虽然有一些偏差，但都在1/10000以内。7.人们还想知道:π的数膨胀真的没有一定的模式吗？我们希望通过研究十进制展开中数字的统计分布找到任何可能的模型？？如果有这样一个模型，到目前为止还没有找到。同时，我们也想知道:π的膨胀是否包含无限的模式变化？换句话说，会出现任何形式的数字排列吗？著名数学家希尔伯特曾在他未出版的笔记本中问了以下问题:π的发展中有10 9个联系吗？从现在计算的60亿数字来看，它已经出现了:6个连续的9连在一起。希尔伯特对这个问题的回答似乎是肯定的。似乎任何数字排列都应该出现，只是在什么时候。然而，它仍然需要更多的π数字来提供实际证据。8.在这方面，仍然有以下统计结果:在60亿个数字中，有8个相互关联的8；9 7；10 6；从710150和3204765小数位开始，连续有七个3。从52638个小数点开始，八个数字14142135连续出现，正好是前八位数字。在小数点2747956之后，有一个有趣的序列876543200。不幸的是，它前面有一个9。还有一个更有趣的系列123456789。如果继续计算，似乎各种数字列组合都可能出现。
零的其他计算方法:π在1777年出版的《概率算术实验》一书中，布冯提出用实验方法计算π。这种实验方法的操作非常简单:找一根粗细和长度都一致的细针，在一张白纸上画一组间距为l的平行线(为方便起见，通常取l = d/2)，然后把小针一次又一次地扔在白纸上。这是重复多次，计算针与任何平行线相交的次数，然后我们可以得到π的近似值。因为布冯自己证明了一根针与任何平行线相交的概率是p = 2L/π d。利用这个公式，可以用概率方法得到圆周率的近似值。在一个实验中，他选择l = d/2，然后投针2212次，其中针与平行线相交704次，从而获得pi的近似值为2212/704 = 3.142。当实验数量相当大时，可以获得更精确的π值。1850年，一个叫沃尔夫的人投掷了5000多次后，得到π的近似值3.1596。目前，意大利的拉日里尼声称用这种方法能得到最好的结果。1901年，他重复了这个实验，进行了3408次注射，获得了π的近似值3.1415929。结果如此准确，以至于许多人都怀疑这个实验的真实性。例如，我？巴吉对此提出了强烈质疑。然而，布冯实验的重要性不在于获得比其他方法更精确的π值。布丰针问题的重要性在于它是第一个用几何形式表示概率的例子。这种计算π的方法不仅因为它的新奇和神奇而令人惊叹，而且它开创了使用随机数来处理确定性数学问题的先河。它也是用列联方法解决确定性计算的先驱。用概率方法计算π值应该提到的是:r？查特在1904年发现两个随机书写的数字之间的互质概率是6/π 2。1995年4月，英国杂志《自然》发表了一篇介绍罗伯特？马修斯，如何利用夜空中明亮恒星的分布来计算圆周率。马修斯从100颗最亮的恒星中随机选择一对接着一对，来分析和计算它们位置之间的角距离。他检查了100万对因子，从中发现π的值约为3.12772。该值与真实值之间的相对误差不超过5%。π的发现通过广泛的几何学、微积分、概率等渠道。充分展示了数学方法的奇异之美。的确令人惊讶的是，π竟然与这些看似无关的实验联系在一起。