小学数学文化:数学家保利亚定理

定理:喝醉的醉汉总能找到回家的路。喝醉的鸟可能永远不会回家。

假设有一条水平直线，从某个位置开始，向左走1米有50%的概率，向右走1米有50%的概率。如果一个人以这种方式无限期地、随机地游荡，最终回到起点的可能性有多大？答案是100%。在一维随机行走的过程中，只要时间足够长，我们总能回到起点。

现在考虑一个在街上随意游荡的醉汉。假设整个城市的街道都分布在一个网格中，醉鬼们每次来到十字路口都会选择一条路(包括他们来的那条)继续前行。他最终回到起点的可能性有多大？答案仍然是100%。起初，醉汉可能走得越来越远，但最终他总能找到回家的路。

然而，喝醉的鸟就没那么幸运了。如果一只鸟在飞行时从顶部、底部、左侧、右侧、前部和后部平均选择一个方向，它可能永远不会回到起点。事实上，在三维网格中随机漫游时，返回起点的概率只有34%。

数学家保利亚在1921年证明了这个定理。随着维度的增加，返回起点的概率会越来越低。在四维网格中随机漫游时，返回起点的概率为19.3%，而在八维空间中，返回起点的概率仅为7.3%。