黎曼于1826年出生在德国的一个村庄里！19岁时，他去哥廷根大学学习，并在高斯晚年成为一名出色的学生。100多年来，哥廷根大学一直是世界数学的研究中心。黎曼毕业后留下来教书。15年后(1866年)，他死于肺结核。

黎曼的寿命很短，不到40年。他没有时间得到像欧拉和柯西那样多的数学结果。然而，他出色的工作质量和深刻的洞察力让世界惊叹不已。我们之所以要介绍黎曼，是因为尽管牛顿和莱布尼茨发现了微积分并给出了定积分的讨论，但教科书中定积分的现代定义是由黎曼给出的。为了纪念他，人们称积分之和为黎曼和，称定积分为黎曼积分。

德国数学家希尔伯特曾指出:“19世纪最鼓舞人心和最重要的数学成就是发现了非欧几里德几何。”1826年，俄罗斯数学家罗巴切夫斯基首次提出了与欧几里德几何第五公设相反的公设，同时保留了欧几里德几何的前四个公设:“在平面上直线之外的一点上，至少有两条直线可以与原始直线平行。”这样就构成了一个新的逻辑系统。在这个新的几何系统中，就像欧几里德几何一样，没有逻辑矛盾。在罗巴切夫斯基几何学中。有许多定理和命题完全不同于欧几里得几何。例如，“三角形内角之和小于180度”；“周长与直径之比总是大于π，并且随着面积的增加，该值越大”。这种几何称为非欧几里德几何。德国的高斯、俄国的罗巴切夫斯基和匈牙利的鲍耶几乎同时提出了非欧洲几何的思想，并独立建立了非欧洲几何。但是高斯不敢发表它，因为他“害怕引起一些人的叫喊”。也因为高斯未能正确评价和鼓励鲍耶的发现，鲍耶放弃了数学研究。然而，罗巴切夫斯基并不保守或沮丧，并一直坚持宣传非欧洲几何。他的精神真是令人钦佩，他的几何创新工作终于得到了后世的一致认可和普遍称赞，称他为“几何学中的哥白尼”。

黎曼在1854年提出了一种新的几何学。在这个几何中，黎曼将欧几里得几何的第五个公设改为“在平面上已知直线之外的一点上，没有平行于原始直线的直线”。由此我们可以推出三角形内角之和大于π的命题。更重要的是，他将欧几里得三维空间扩展到了N维空间，从而获得了一种新的几何——黎曼非欧几里得几何。他的作品远远超过了他的前辈，他的作品对19世纪下半叶和20世纪的数学发展产生了巨大的影响。他不仅是非欧洲几何的创始人之一，而且他的研究成果为50年后爱因斯坦的广义相对论提供了一个数学框架。在建立广义相对论的过程中，由于缺乏必要的数学工具，爱因斯坦很长一段时间没有取得根本性的突破。只有在他的同学和好朋友德国数学家格茨曼帮助他掌握了黎曼几何和张量分析之后，爱因斯坦才打开了广义相对论的大门，完成了物理学的一场革命，并宣布了核时代的到来。爱因斯坦凭着丰富的经验说:“越来越多的理论物理学家不得不屈服于纯数学的形式。”爱因斯坦还认为“理论物理的创造性原理在于数学”黎曼的数学思想深刻而独特。至于他的贡献，人们说，“黎曼把数学向前推了好几代。”

非欧几里德几何建立的“最重要的影响”之一是迫使数学家从根本上改变他们对数学性质的理解。历史学家不仅通过数学的镜子看到了数学的成就和应用，而且也看到了数学的发展是如何教会人们进行抽象推理，发展理性探索的精神，激励人们追求理想和美的。