2006年8月，第25届国际数学家大会在西班牙马德里举行。中国科学院计算数学与科学工程计算研究所副所长陈志明研究员作了45分钟的报告，题为“求解微分方程的后验误差估计和自适应有限元方法”，成为唯一应邀在大会上作45分钟报告的中国大陆数学家。

最佳方法已经达到极限。

自适应有限元法的思想最早出现于1978年，当时美国数学家巴布斯卡完成了这种方法的基本理论，但当时，自适应有限元法被用来解决一些相对简单的数学模型问题，而我的工作是用它来解决更复杂和困难的工程问题在办公室里，陈志明轻描淡写地告诉记者他在国际数学家大会上的报告。

然而，从简单的问题到复杂的工程问题，这种方法所经历和解决的困难是不能轻描淡写的。

自适应有限元方法是在传统有限元方法的基础上，以后验误差估计和自适应网格改进技术为核心。通过自适应分析，自动调整算法以改进求解过程。从方法论的角度来看，人们已经得出结论，适应是用有限元法求解微分方程的最佳离散方法陈志明说，在求解微分方程的有限元方法中，自适应已经是数学上可以找到的“极限”方法。

在实际生产实践中，许多工程问题需要用微分方程来解决，但用计算机求解微分方程需要大量的计算。有时，为了将误差控制在足够小的范围内，需要数亿次运算，这对普通计算机来说是非常困难的。有时即使执行数百亿次运算，误差也不能控制在理想范围内。为了减少运算次数和控制误差范围，显然需要一个更好的解决方案。

用有限元法求解微分方程有三个步骤:设计网格、在网格上离散微分方程和求解代数方程。其中，设计网格是最关键也是最困难的一步。所谓的设计网格是将计算区域划分为有限数量的非重叠单元。陈志明告诉记者，人们经常根据经验划分网格。有时需要反复尝试才能找到更合适的划分方法，而试验过程也需要大量的操作。

现在，通过使用自适应方法求解微分方程，设计网格的工作可以由计算机自动完成，人们不再需要手动设置和尝试，从而节省了大量的工作和时间陈志明说。

在第25届国际数学家大会的报告中，陈志明以工程热传导问题为例说明了这种方法的高效性。如果在计算领域设计统一网格，将需要100亿个网格，但误差仍然达到0.1。如果用自适应方法设计不均匀分布的网格，只需要2673个网格，误差将减少到0.07。

目前，国际学术界认为陈志明在椭圆障碍问题、超导数学模型和电磁散射计算中引入的创造性有限元自适应方法“非常重要和有用”。

沿着拓荒者的道路继续创造

陈志明遇到了一位西班牙数学家，他在1994年国际数学家大会上做了一份45分钟的报告后，发表了一份邀请报告。当他得知陈志明来自中国科学院计算数学与科学工程计算研究所时，兴奋地说，多年前，他曾拜访过中国科学院计算数学与科学工程计算研究所的前身中国科学院计算中心，与冯康先生讨论数学问题。后来，他还邀请冯康先生访问西班牙。

对未知的追求和对先驱者的钦佩在同一时间和空间交织在一起。

冯康一生有两大科学突破:1964年至1965年，他独立开创了有限元法，奠定了有限元法的数学基础；1984年以后创建的哈密尔顿系统的辛几何算法及其发展。

“我在南京大学读书时才听到冯先生的报告。这是我对冯先生最直接的印象。不幸的是，冯先生于1993年去世，当时我仍在国外攻读博士学位，没有机会接受冯先生的个人指导。后来，当我到达计算数学和科学工程学院时，我听说了冯先生的工作，并开始阅读他的文章。这些东西很深刻，他的工作令人惊叹。”回忆起冯留下的印象。

1994年，陈志明还是德国的博士后研究员。当时，他正在做超导数学模型的计算。他从一份关于美国数学家巴布斯卡提出的适应性方法的报告中了解到，并发现这种方法非常有趣。然后他收集了很多相关的材料。不久，陈志明回到中国，并逐步将自适应方法引入有限元计算，以解决复杂的工程问题。

计算数学与科学工程计算研究所的石仲慈、林群和崔俊智院士也从事有限元方法的研究。他们经常和陈志明交流和讨论，非常支持陈志明。“有限元方法的研究在我国有着坚实的基础，我现在所做的工作也继承了这一传统。为什么我们需要解决这些工程问题，为什么这些问题如此重要，这个解决方案是如何产生的，等等，其背景不是写在学术文章中，而是经常是科学研究的一个非常重要的部分。如果一个人能在这样一种良好的氛围中得到培养和灌输，他的学术品位就会逐渐确立。”

多年来，陈志明和他周围的学者一直在讨论计算数学的发展方向。目前，国内计算数学的研究范围已经扩展到应用、实现技术、软件平台研究等方面，与国际研究趋势更加紧密结合。

2005年，陈志明成为国家“973”计划“高性能科学计算研究”的首席科学家。这使得他们从事的研究更进一步。“我一直喜欢这种适应的方法，我非常钦佩巴布斯卡先生。他最初的想法非常罕见，对我们很有帮助。当然，要解决这些新问题，我们需要新的想法和新的发现。”

计算数学的水平达到了一个新的水平。

在国际数学家大会上，陈志明经常在会议期间与他的同事交流。他认为中国计算数学的水平已经得到了国际学术界的认可。

“在计算数学领域，中国的学术水平已经达到世界新水平。国内学者在国外顶级期刊上发表了许多文章，这种整体的提高也引起了国外学者的注意。他们说国外顶级杂志上的文章也有许多中国学者的名字，但是地址都在国外。现在许多中国学者都在中国有他们的地址。

“此外，我们现在研究的问题也能引起外国学者的兴趣，这在一定程度上代表了你所做的知识是否是原创的。

“我从事计算数学领域，但我认为这不仅仅是计算数学的发展，总的来说，我国数学的整体水平比以前有了很大的进步。”

陈志明认为，只有整体水平高了，分支领域才会有更高的成就。例如，俄罗斯的数学传统非常强大，只有这样才能产生像佩雷尔曼这样的数学家。他用来证明庞加莱猜想的一个关键方法对西方数学界来说几乎是不可理解的，但是受过俄罗斯数学教育的数学家们都精通它。这是俄罗斯长期积累的数学工具之一，具有很高的整体数学水平，而其他国家的人通常不知道这种数学工具。在这种情况下，一些问题可能只能通过这些“独特的”数学工具来解决。

我喜欢数学，因为我从中找到乐趣。

在第25届国际数学家大会上，陈志明和他的国际同事达成了共识。他说:“我觉得数学家仍然应该更多地考虑数学本身，集中精力学习，不应该过多地考虑他人。

“我们确实讨论过这样一个问题，每个人都喜欢做数学，因为我们在做数学的过程中发现了乐趣。一位国际同事的话给我留下了深刻的印象，他说，"你在数学过程中很开心，这就够了！"

“有些人说数学很无聊，我认为它很有趣，因为数学可以把许多自然现象归纳成数学模型，通过这些模型可以预测许多未知的事物。

“这很有意义。本来不能做的事现在可以做了。别人看不到的东西可以通过你的努力看到。这些是科学发现。那些从事数学的人，像其他科学研究一样，需要坚持和勤奋。”

陈志明喜欢这个过程，自然不会对结果问太多，他说:“随着时间的推移，很多事情会过去，真正原创的研究将会保留下来。但是科学史上剩下的东西很少了。”

“科学家也是人，不能完全脱离社会。在学术问题上有不同意见是正常的。在科学史上，牛顿和莱布尼茨也争论过发明微积分的权利，但最终他们都停留在科学史上，这表明他们的工作非常重要。”至于工作的价值，陈志明认为它应该由时间来判断，与他想做的工作无关。