这一时期初期的数学以希腊数学为代表，它融合了巴比伦精致的算术和埃及神奇的几何，成为当时欧洲第一个创造文明的地区。随着罗马帝国征服了希腊并摧毁了希腊文化，数学发展的中心转移到了中国、印度和东方的阿拉伯国家。
毫无疑问，泰勒斯是这一时期数学的创始人。他学习了两种文明的数学知识。他学会了用几何技术测量距离的埃及方法和用小块农田计算面积的方法。此外，他还学习了巴比伦天文学和十六进制计数系统的使用。这使他有了良好的数学基础。他认为一些数学结论是正确的，不仅因为它们符合人们的生活经验，而且还有更深刻的原因。泰勒斯探索了一套基本理论和基本逻辑来帮助他的研究，使他能够推导出基于这些理论的所有数学定理和规则。他称这些基本理论为公理和假设。通过一定的逻辑论证，我们可以从这些公理和假设中得到一些特殊的结论。这些特殊的结论被称为定理，而这个逻辑推理过程被称为证明。泰勒斯证明了五个定理，它们都与圆和三角形的几何特征有关:①任何通过圆心的直线将圆分成两个面积相等的部分，即“直径平分圆”；(2)如果三角形两边的长度相等，则与两边相对的两个角的角度也相等。也就是说，“等腰三角形的底角相等”；(3)如果两条直线相交，则任意两个对角相等，即“两条直线相交，它们的对角相等”；(4)如果三角形的三个顶角(即角的顶点)都在一个圆上，并且三角形的一条边正好是圆的直径，那么三角形就是直角三角形，即“与半圆的圆周成直角”；(5)如果三角形的两个角和两个角中间的边等于对应的两个角和另一个三角形的一边，那么这两个三角形就是全等三角形，这就是全等三角形的“角定理”。虽然古埃及人和古巴比伦人可能很久以前就知道这些结论，但是没有系统的解释和证据。泰勒斯将它们组织成一般命题，证明它们的严密性，并在实践中广泛应用。泰勒斯第一个提出“数学定理必须证明”的观点，这对重新定义数学的本质产生了深远的影响。在科学上，他崇尚理性，不满足于直观、感性和特殊的知识，崇尚抽象、理性和一般的知识。数学已经从感性变成了理性。
毕达哥拉斯追随泰勒斯。毕达哥拉斯是古希腊数学家和宗教领袖。他对数学的研究早已超越了数字学的领域，进入了数论的分支。他还发现了一些构成音乐理论基础的数学比例，并认为这种比例在天文学中也存在。他还给出了毕达哥拉斯定理的最早证明，根据毕达哥拉斯定理，无理数被发现。在他之前，人们只知道三种正多面体:正四面体、正六面体和正十二面体。他发现了另外两个正多面体:正八面体和正二十面体，并证明了不可能有其他正多面体。
后来，数学发展中心从希腊转移到亚历山大。在此期间，许多高水平的数学手稿被出版并流传至今。欧几里德写了他的书《几何元素》，这是平面几何、比例理论、数论、无量纲理论和立体几何的综合表达。欧几里德第一次将几何确立为演绎系统，并成为数学和思想史上划时代的杰作。欧几里德的理论建立了几何学研究的基本框架。这个理论框架已经使用了2000多年。直到19世纪，人们才发现一个与欧几里得几何相矛盾的结论，然后开始发展当前的非欧几里得几何。由于他的作品长期以来在几何学的研究中占据着主导地位，因此被誉为“几何学之父”。
阿基米德开始对应用数学知识解决实际问题和发展新的数学思想感兴趣。他用内外多边形相结合的方法得到圆周率的近似值，精确到小数点后4位。他在《圆的度量》一书中介绍了这种方法和结果。从那时起，18世纪的数学家就一直使用这种方法来计算圆周率。他还使用穷举法来估计周长、面积和体积，并使用现在称为“阿基米德螺线”的曲线来确定切线，这使他离18世纪发现的微积分只有很短的距离，并为非常小和非常大的数字带来了一种全新的方法。但是这位伟大的数学家死于战争。公元前212年，阿基米德75岁。罗马军队占领了古城西拉。阿基米德没有参加庆祝活动，因为他试图解决一个数学问题。他被一名手持长矛的罗马士兵杀死。他是一个创造性的问题解决者，在他的一生中，他解决了几乎所有数学界当时无法回答的主要问题。数学家称他为牛顿和高斯之外的三大数学家，他们称他为欧拉之外的四大数学家。
随着罗马帝国毁灭希腊，希腊文化开始消亡。虽然希腊数学在这个时候开始衰落，但也有许多杰出的数学家，如海伦、帕福斯、丢番图、希帕西亚等。海伦以解决几何测量问题而闻名。著名的“海伦公式”被他证明了。他的主要作品是《测量理论》。帕福斯有许多著作，唯一幸存下来的是最有价值的一部:《数学概要》，它在历史上占有特殊的地位。这不仅是因为它有许多发明和创造，还因为它记录了许多以前的作品，保存了大量现在看不到的作品。丢番图是代数的创始人之一。他认为代数方法比几何的演绎陈述更适合解决问题。他对算术理论进行了深入研究。他已经完全摆脱了几何形式和几何的束缚。墓志铭是著名的丢番图问题。希帕西亚是最早的女数学家，但教会视她为眼中钉，因为教会认为她的口才和高声望威胁到了教会。公元前415年3月的一天，一群暴徒残忍地杀害了她。她的死标志着希腊数学的死亡。
在接下来的几年里，数学进入了一个黑暗时期。从5世纪到15世纪，数学发展的中心开始转移到东方的印度、中亚、阿拉伯国家和中国。在这一时期，数学发展迅速，主要是由于计算的需要(尤其是天文学)。古希腊数学重视抽象、逻辑和理论，强调数学是理解自然的工具，几何是关键。然而，古代中国和印度非常重视具体性、经验和应用，强调数学是主宰自然的工具，强调算术和代数。
印度数学的发展是世界数学史的重要组成部分。在西方数学进入的黑暗时期，印度和许多东方国家一起举着发展数学的旗帜。印度数学深受婆罗门教的影响。此外，由于其特殊的地理位置，印度数学也受到希腊和近东，尤其是中国的影响。印度数学的主要代表是阿里·波尔托第一(也称为大阿里·波尔托)和布拉马古普塔。阿里波多黎各建立了一个结合元音和辅音的字母计数系统。它用印度字母中的33个辅音来代表1到25之间的整数和30到100的倍数。他还用一个元音和一个辅音连起来代表10次，这对记录那些巨大的数字非常有帮助。他解释了计算三次方根的有效方法，以及计算一阶不定方程的数列和的代数方法。他改进的正弦和π的近似值已经使用了很长时间。他还精确地估计了一年的长度，并给出了计算行星轨道的公式。另一位著名的数学家是波罗·摩根普塔。他关于天文学和数学的两部经典著作在印度被广泛使用，也将印度的技术体系传播到了阿拉伯世界。他在他的一本书里提到了负数和零，这是已知最早的记录。他还发展了一套复杂的代数方法来求解第一和第二不定方程，并提出了内切四边形的定理和公式。此外，他修正的估计角度的平方根和正弦的方法开辟了数值分析的新领域，因此被称为“数值分析之父”。
此外，中亚和波斯也对数学做出了重要贡献，现在广泛使用的阿拉伯符号就是其中之一。有代表性的人物是阿布·贾法尔·穆罕默德·伊本·穆萨·瓦拉齐米、奥马尔·海亚姆和加雅绍丁·阿尔-卡西，他们被称为“代数之父”。阿布·贾法尔·穆罕默德·伊本·穆萨·瓦拉兹米演示了如何解二次方程，这正式揭开了代数研究的帷幕。在他的书中，他介绍了如何使用印度的十进制记数系统，后世称之为“阿拉伯数字”。奥马尔·海亚姆一共写了4本数学书。在其中一篇文章中，他指出了14种三次方程，并介绍了几何方法来求解这14种三次方程。他还发明了一种方法，利用二项式的系数来估计整数的第n个根。在试图改进欧几里得平行线公理时，他证明了一系列定理，这些定理被认为是非欧几里得几何的最早研究。ghayassouddin Al-Kasi开发了一种革命性的近似方法。通过计算超过8亿条边的正多边形和一种非常有效的估计平方根的方法，他把圆周率的值精确到小数点后16位。他发展了五种方法来估计建筑圆顶和拱顶的面积和体积。他还用迭代法来估计三次方程的根，根据这一点，sin 1的值精确到小数点后18位。他用十进制小数计算并完善了印度阿拉伯数字系统的发展。
作为世界四大文明古国之一，中国的数学发展在世界数学发展中起着重要的作用。中国古代数学影响深远，风格独特。在春秋战国时期，计算被广泛使用，使用十进制记数法，这对世界数学的发展具有划时代的意义。在初等数学时期，中国出现了许多世界著名的数学家，如刘辉(公元3世纪)、祖冲之(公元429-500年)、王小通(公元6-7世纪)、(公元1192-1279年)、秦(公元1202-1261年)、朱世杰(公元13-4世纪)等。与此同时，出现了许多数学著作，尤其是《九章算术》的完成，标志着中国古代初等数学体系的基本形成。《九章算术》是战国秦汉时期创立和发展起来的数学总结。就其数学成就而言，它可以被称为世界著名的数学著作。中国的传统数学在线性方程、同余理论、有理数平方、开平方、高阶方程的数值解、高阶等差级数和圆周率的计算方面一直处于世界领先地位。
初等数学时期始于泰勒斯，持续了2000多年，直到高等数学出现。从泰勒斯将数学从感性认识引入理性演绎开始，经过长时间的发展和众多科学家的共同努力，初等数学的主要部分(算术、代数和几何)已经基本完成并发展成熟。在此期间，数学中心也发生了变化。从希腊到中亚、印度和中国，数学的国际交流和交流也是数学迅速发展的重要原因。这一时期的数学已经能够解决许多实际问题，并对人们的生产和生活产生了重大影响。同时，这一时期数学的发展为现代数学和现代数学奠定了坚实的基础。
摘自清华出版社授权的《科学技术史与方法论》
推荐:一本“透视”科学技术史和“科学技术”的书