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单选题

已知抛物线C的参数方程为$\left\{\begin{matrix}x=8t_ \ y=8t \ \end{matrix}\right.$(t为参数),若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点,且与圆(x-4)_+y_=r_(r>0)相切,则r=(      )

A
3
B
$\sqrt {3}$-1
C
$\sqrt {2}$
D
$\frac {\sqrt {55}}{3}$

题目答案

C

答案解析

分析:

由抛物线C的参数方程为$\left\{\begin{matrix}x=8t_ \ y=8t \ \end{matrix}\right.$我们易求出抛物线的标准方程,进而根据斜率为1的直线经过抛物线C的焦点,且与圆(x-4)_+y_=r_(r>0)相切,我们根据直线与圆相切,则圆心到直线的距离等于半径,求出直线方程后,代入点到直线距离公式,构造关于r的方程,解方程即可得到答案.

解答:

解:∵抛物线C的参数方程为$\left\{\begin{matrix}x=8t_ \ y=8t \ \end{matrix}\right.$

则抛物线的标准方程为:y_=8x

则抛物线C的焦点的坐标为(2,0)

又∵斜率为1的直线经过抛物线C的焦点

则直线的方程为y=x-2,即x-y-2=0

由直线与圆(x-4)_+y_=r_相切,则

r=$\frac {4-2}{\sqrt {2}}=\sqrt {2}$

故答案为:C.

点评:

本题考查的知识点是直线与的圆位置关系,抛物线的简单性质及抛物线的参数方程,其中根据直线与圆相切,则圆心到直线的距离等于半径,求出直线方程后,代入点到直线距离公式,构造关于r的方程,是解答本题的关键.

举一反三
单选题

若点P(3,m)在以点F为焦点的抛物线$\left\{\begin{matrix}x=4t_ \ y=4t \ \end{matrix}\right.$(t为参数)上,则|PF|等于(  )

A
2
B
3
C
4
D
5

题目答案

C

答案解析

分析:

欲求|PF|,根据抛物线的定义,即求P(3,m)到准线x=-1的距离,从而求得|PF|即可.

解答:

解:抛物线为y_=4x,准线为x=-1,

∴|PF|为P(3,m)到准线x=-1的距离,即为4.

故选C.

点评:

本小题主要考查抛物线的参数方程、抛物线的简单性质等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.

单选题

在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{matrix}x=1-\frac {\sqrt {2}}{2}t \ y=2+\frac {\sqrt {2}}{2}t \ \end{matrix}\right.$(t为参数),直线l与抛物线$\left\{\begin{matrix}x=4t_ \ y=4t \ \end{matrix}\right.$(t为参数)交于A,B两点,线段AB的长是(      )

A
7
B
6$\sqrt {3}$-3
C
8$\sqrt {2}$
D
$\frac {\sqrt {3}}{2}$

题目答案

C

答案解析

分析:

直线l和抛物线的参数方程化为普通方程,联立,求出A,B的坐标,即可求线段AB的长.

解答:

解:直线l的参数方程为$\left\{\begin{matrix}x=1-$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$t \ y=2+$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$t \ \end{matrix}\right.$化为普通方程为x+y=3,抛物线方程:y_=4x,

联立可得x-10x+9=0,

∴交点A(1,2),B(9,-6),

∴|AB|=$\sqrt {}$=8$\sqrt {2}$,所以选C.

点评:

本题主要考查了直线与抛物线的位置关系:相交关系的应用,考查学生的计算能力,属于基础题

单选题

已知曲线的参数方程为$\left\{\begin{matrix}x=cosθ+sinθ \\ y=sin2θ \end{matrix}\right.$(θ为参数),则曲线的普通方程为(  )

A

x2=y+1(-$\sqrt {2}$≤x≤$\sqrt {2}$)

B

x2=y+1(-1≤x≤1)

C

x2=1-y(-$\sqrt {2}$≤x≤$\sqrt {2}$)

D

x2=1-y(-1≤x≤1)

题目答案

A

答案解析

分析:

先将x=sinθ+cosθ两边平方可得x2=1+sin2θ再将y=sin2θ代入即可得解,而x=sinθ+cosθ=$\sqrt {2}$sin(θ-$\frac {π}{4}$),故-$\sqrt {2}$≤x≤$\sqrt {2}$.

解答:

解:先将x=sinθ+cosθ两边平方可得x2=1+sin2θ再将y=sin2θ代入可得x2=1+y

∵x=sinθ+cosθ=$\sqrt {2}$sin(θ-$\frac {π}{4}$)∴-$\sqrt {2}$≤x≤$\sqrt {2}$,∴所求的普通方程为x2=1+y(-$\sqrt {2}$≤x≤$\sqrt {2}$).故选:A.

点评:

本题主要考查了参数方程化成普通方程,属于中档题.解题的关键是熟记同角的三角函数的基本关系式和二倍角公式!

单选题

已知曲线C的参数方程为$\left\{\begin{matrix}x=|cos\frac {θ}{2}+sin\frac {θ}{2}| \\ y=\frac {1}{2}(1+sinθ)\end{matrix}\right.$(0<θ<2π),则点M(-1,$\frac {1}{2}$),N(1,$\frac {1}{2}$),P(2,2),Q($\sqrt {2}$,1)中,在曲线C上的点有(  )

A

0个

B

1个

C

2个

D

3个

题目答案

C

答案解析

分析:

将参数方程的上式两边平方,应用同角三角函数的基本关系式化简,结合参数方程的第二式,得到普通方程,注意x,y的范围,即可判断M,N,P,Q是否在曲线C上.

解答:

解:曲线C的参数方程为$\left\{\begin{matrix}x=|cos\frac {θ}{2}+sin\frac {θ}{2}| \\ y=\frac {1}{2}(1+sinθ) \end{matrix}\right.$(0<θ<2π),x2=(cos$\frac {θ}{2}$+sin$\frac {θ}{2}$)2=1+2sin$\frac {θ}{2}$cos$\frac {θ}{2}$=1+sinθ,又2y=1+sinθ,故曲线C的普通方程为x2=2y(0≤x≤$\sqrt {2}$,0≤y≤1),故点M(-1,$\frac {1}{2}$),N(1,$\frac {1}{2}$),P(2,2),Q($\sqrt {2}$,1)中N,Q在曲线上,M,P不在,故选C.

点评:

本题主要考查参数方程与普通方程的互化,注意x,y的范围,是一道基础题.

单选题

下列哪些点既在曲线C$_1$:$\left\{\begin{matrix}x=\sqrt {5}cosθ \ y=sinθ \ \end{matrix}\right.$(0≤θ<π,θ为参数)又在曲线 C$_2$:$\left\{\begin{matrix}x=\frac {5}{4}t_ \ y=t \ \end{matrix}\right.$(t∈R,t为参数)上(  )

A
(1,$\frac {\sqrt {5}}{5}$)
B
(-1,±$\frac {\sqrt {5}}{5}$)
C
(1,$\frac {2\sqrt {5}}{5}$)
D
(1,±$\frac {2\sqrt {5}}{5}$)

题目答案

C

答案解析

分析:

首先,将两个曲线的参数方程化为普通方程,然后,联立方程组,求解其交点即可.

解答:

解:由曲线C$_1$:$\left\{\begin{matrix}x=$\sqrt {5}$cosθ \ y=sinθ \ \end{matrix}\right.$(0≤θ<π,θ为参数),

得:$\frac {x}{5}$+y_=1,(y∈[0,1))

由曲线 C$_2$:$\left\{\begin{matrix}x=$\frac {5}{4}$t_ \ y=t \ \end{matrix}\right.$(t∈R,t为参数),得

y_=$\frac {4}{5}$x,

联立方程组$\left\{\begin{matrix}$\frac {x}{5}$+y_=1 \ y_=$\frac {4}{5}$x \ \end{matrix}\right.$,得

x=1或x=-5(舍去),

∴y=±$\frac {2$\sqrt {5}$}{5}$,

∵y∈[0,1),

两个曲线的交点坐标为(1,$\frac {2$\sqrt {5}$}{5}$),

故选:C.

点评:

本题重点考查了椭圆和抛物线的参数方程,参数方程和普通方程的互化等知识,属于中档题.

单选题

若动点(x,y)在曲线$\frac {x}{4}$+$\frac {y}{b}$=1(b>0)上变化,则x+2y的最大值为(  )

题目答案

A

答案解析

分析:

本题可以直接借助于椭圆方程把x_用y表示,从而得到一个关于y的二次函数,再配方求最值;这里用椭圆的参数方程求解

解答:

解:记x=2cosθ,y=bsinθ,x+2y=4cos_θ+2bsinθ=f(θ),

f(θ)=-4sin_θ+2bsinθ+4=-4(sinθ-$\frac {b}{4}$)_+$\frac {b}{4}$+4,sinθ∈[-1,1]

若0<$\frac {b}{4}$≤1⇒0<b≤4,则当sinθ=$\frac {b}{4}$时f(θ)取得最大值$\frac {b}{4}$+4;

若$\frac {b}{4}$>1⇒b>4,则当sinθ=1时f(θ)取得最大值2b,

故选A.

点评:

本题考查的是椭圆的性质及椭圆的参数方程,可以从不同角度寻求方法求解,本题用了椭圆的参数方程结合三角函数的最值进行求解.

单选题

设a,b∈R,a_+2b_=6,则a+b的最小值是(  )

A
-2$\sqrt {2}$
B
-$\frac {5$\sqrt {3}$}{3}$
C
-3
D
-$\frac {7}{2}$

题目答案

C

答案解析

分析:

首先分析由式子a_+2b_=6,可以考虑设成包含三角函数的参数方程$\left\{\begin{matrix}a=$\sqrt {6}$cosθ \ b=$\sqrt {3}$sinθ \ \end{matrix}\right.$,然后代入a+b化简求值,再根据三角函数的最值问题求解即可得到答案.

解答:

解:因为a,b∈R,a_+2b_=6

故可设$\left\{\begin{matrix}a=$\sqrt {6}$cosθ \ b=$\sqrt {3}$sinθ \ \end{matrix}\right.$.θ⫋R.

则:a+b=$\sqrt {6}$cosθ+$\sqrt {3}$sinθ =3sin(θ+α),

再根据三角函数最值的求法可直接得到a+b的最小值是-3.

故选C.

点评:

此题主要考查参数方程求最值的思想.对于此类题目如果应用基本不等式行不通的时候,可以考虑参数方程的方法,有一定的技巧性,属于中档题目.

单选题

设P(x,y)是椭圆$\frac {x}{9}$+$\frac {y}{4}$=1上的一点,则2x-y的最大值是(      )

A
4$\sqrt {3}$
B
2$\sqrt {3}$
C
$\sqrt {6}$
D
2$\sqrt {10}$

题目答案

D

答案解析

分析:

首先,设2x-y=a,联立方程组$\left\{\begin{matrix}y=2x-a \ 4x+9y_=36 \ \end{matrix}\right.$,消去y,并整理,得40x-36ax+9a_-36=0,然后,结合判别式进行求解.

解答:

解:设2x-y=a,

联立方程组$\left\{\begin{matrix}y=2x-a \ 4x+9y_=36 \ \end{matrix}\right.$,

消去y,并整理,得

40x-36ax+9a_-36=0,

∴△=-a_+40≥0,

∴-2$\sqrt {10}$≤a≤2$\sqrt {10}$,

故答案为:2$\sqrt {10}$,所以选D.

点评:

本题重点考查了直线与椭圆的位置关系,椭圆的基本性质等知识,属于中档题.

单选题

已知点P的极坐标为(2,$\frac {π}{2}$),曲线C的极坐标方程为ρ=-4cosθ,过点P的直线l交曲线C于M、N两点,|PM|+|PN|的最大值为(      )

A
2
B
3$\sqrt {3}$-1
C
4$\sqrt {2}$
D
$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$

题目答案

C

答案解析

分析:

先把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,再写出直线的参数方程,将直线的参数方程代入曲线C的方程,可得 t_+4t(sinθ+cosθ)+4=0,由根与系数的关系可得|PM|+|PN|的表达式,最后利用三角函数的性质求得结果.

解答:

解:P的直角坐标为(0,2)…(2分)

曲线C的直角坐标方程为x+y+4x=0…(4分)

直线l的参数方程为$\left\{\begin{matrix}x=tcosθ \ y=2+tsinθ \ \end{matrix}\right.$…(6分)

代入曲线C的方程t_+4t(sinθ+cosθ)+4=0…(8分)

∵t$_1$t$_2$=4>0,

∴|PM|+|PN|=|t$_1$|+|t$_2$|=|t$_1$+t$_2$|=|4(sinθ+cosθ)|≤4$\sqrt {2}$,所以选C.(12分)

点评:

本题主要考查直线的参数方程,参数的几何意义,把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,直线和圆的位置关系,属于基础题.

单选题

若实数x,y满足x+4y_=4,则$\frac {xy}{x+2y-2}$的最大值为(  )

A
$\frac{1-\sqrt{2}}{2}$
B
1-$\sqrt{2}$
C
$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$
D
1+$\sqrt{2}$

题目答案

C

答案解析

分析:

先根据实数x,y满足x+4y_=4,利用三角换元法:设x=2cosθ,y=sinθ,代入$\frac {xy}{x+2y-2}$化简,最后利用三角函数的性质即可得出$\frac {xy}{x+2y-2}$的最大值.

解答:

解:∵实数x,y满足x+4y_=4,

∴设x=2cosθ,y=sinθ,

则$\frac {xy}{x+2y-2}$=$\frac {2cosθsinθ}{2cosθ+2sinθ-2}$=$\frac {(sinθ+cosθ)_-1}{2(sinθ+cosθ-1)}$=$\frac {sinθ+cosθ+1}{2}$=$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$sin(θ+$\frac {π}{4}$)+$\frac {1}{2}$,

∴当θ=$\frac {π}{4}$时,$\frac {xy}{x+2y-2}$取最大值为$\frac {1+$\sqrt {2}$}{2}$.

故选C.

点评:

本小题主要考查二元函数最值的求法、三角函数的性质等基础知识,考查运算求解能力与转化思想.属于中档题.