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单选题

设a,b∈R,a_+2b_=6,则a+b的最小值是(  )

A
-2$\sqrt {2}$
B
-$\frac {5$\sqrt {3}$}{3}$
C
-3
D
-$\frac {7}{2}$

题目答案

C

答案解析

分析:

首先分析由式子a_+2b_=6,可以考虑设成包含三角函数的参数方程$\left\{\begin{matrix}a=$\sqrt {6}$cosθ \ b=$\sqrt {3}$sinθ \ \end{matrix}\right.$,然后代入a+b化简求值,再根据三角函数的最值问题求解即可得到答案.

解答:

解:因为a,b∈R,a_+2b_=6

故可设$\left\{\begin{matrix}a=$\sqrt {6}$cosθ \ b=$\sqrt {3}$sinθ \ \end{matrix}\right.$.θ⫋R.

则:a+b=$\sqrt {6}$cosθ+$\sqrt {3}$sinθ =3sin(θ+α),

再根据三角函数最值的求法可直接得到a+b的最小值是-3.

故选C.

点评:

此题主要考查参数方程求最值的思想.对于此类题目如果应用基本不等式行不通的时候,可以考虑参数方程的方法,有一定的技巧性,属于中档题目.

举一反三
单选题

设P(x,y)是椭圆$\frac {x}{9}$+$\frac {y}{4}$=1上的一点,则2x-y的最大值是(      )

A
4$\sqrt {3}$
B
2$\sqrt {3}$
C
$\sqrt {6}$
D
2$\sqrt {10}$

题目答案

D

答案解析

分析:

首先,设2x-y=a,联立方程组$\left\{\begin{matrix}y=2x-a \ 4x+9y_=36 \ \end{matrix}\right.$,消去y,并整理,得40x-36ax+9a_-36=0,然后,结合判别式进行求解.

解答:

解:设2x-y=a,

联立方程组$\left\{\begin{matrix}y=2x-a \ 4x+9y_=36 \ \end{matrix}\right.$,

消去y,并整理,得

40x-36ax+9a_-36=0,

∴△=-a_+40≥0,

∴-2$\sqrt {10}$≤a≤2$\sqrt {10}$,

故答案为:2$\sqrt {10}$,所以选D.

点评:

本题重点考查了直线与椭圆的位置关系,椭圆的基本性质等知识,属于中档题.

单选题

已知点P的极坐标为(2,$\frac {π}{2}$),曲线C的极坐标方程为ρ=-4cosθ,过点P的直线l交曲线C于M、N两点,|PM|+|PN|的最大值为(      )

A
2
B
3$\sqrt {3}$-1
C
4$\sqrt {2}$
D
$\frac {$\sqrt {3}$}{3}$

题目答案

C

答案解析

分析:

先把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,再写出直线的参数方程,将直线的参数方程代入曲线C的方程,可得 t_+4t(sinθ+cosθ)+4=0,由根与系数的关系可得|PM|+|PN|的表达式,最后利用三角函数的性质求得结果.

解答:

解:P的直角坐标为(0,2)…(2分)

曲线C的直角坐标方程为x+y+4x=0…(4分)

直线l的参数方程为$\left\{\begin{matrix}x=tcosθ \ y=2+tsinθ \ \end{matrix}\right.$…(6分)

代入曲线C的方程t_+4t(sinθ+cosθ)+4=0…(8分)

∵t$_1$t$_2$=4>0,

∴|PM|+|PN|=|t$_1$|+|t$_2$|=|t$_1$+t$_2$|=|4(sinθ+cosθ)|≤4$\sqrt {2}$,所以选C.(12分)

点评:

本题主要考查直线的参数方程,参数的几何意义,把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,直线和圆的位置关系,属于基础题.

单选题

若实数x,y满足x+4y_=4,则$\frac {xy}{x+2y-2}$的最大值为(  )

A
$\frac{1-\sqrt{2}}{2}$
B
1-$\sqrt{2}$
C
$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$
D
1+$\sqrt{2}$

题目答案

C

答案解析

分析:

先根据实数x,y满足x+4y_=4,利用三角换元法:设x=2cosθ,y=sinθ,代入$\frac {xy}{x+2y-2}$化简,最后利用三角函数的性质即可得出$\frac {xy}{x+2y-2}$的最大值.

解答:

解:∵实数x,y满足x+4y_=4,

∴设x=2cosθ,y=sinθ,

则$\frac {xy}{x+2y-2}$=$\frac {2cosθsinθ}{2cosθ+2sinθ-2}$=$\frac {(sinθ+cosθ)_-1}{2(sinθ+cosθ-1)}$=$\frac {sinθ+cosθ+1}{2}$=$\frac {$\sqrt {2}$}{2}$sin(θ+$\frac {π}{4}$)+$\frac {1}{2}$,

∴当θ=$\frac {π}{4}$时,$\frac {xy}{x+2y-2}$取最大值为$\frac {1+$\sqrt {2}$}{2}$.

故选C.

点评:

本小题主要考查二元函数最值的求法、三角函数的性质等基础知识,考查运算求解能力与转化思想.属于中档题.

单选题

过椭圆$\frac {x^{2}}{9}$+$\frac {y^{2}}{4}$=1上一点H作圆x+y_=2的两条切线,点A,B为切点,过A,B的直线l与x轴,y轴分布交于点P,Q两点,则△POQ面积的最小值为(  )

A

$\frac {1}{2}$

B

$\frac {4}{3}$

C

1

D

$\frac {2}{3}$

题目答案

D

答案解析

分析:

由点H在椭圆$\frac {x^{2}}{9}$+$\frac {y^{2}}{4}$=1上,知H(3cosθ,2sinθ),由过椭圆$\frac {x^{2}}{9}$+$\frac {y^{2}}{4}$=1上一点H(3cosθ,2sinθ)作圆x+y_=2的两条切线,点A,B为切点,知直线AB的方程为:(3cosθ)x+(2sinθ)y=2,由此能求出△POQ面积最小值.

解答:

解:∵点H在椭圆$\frac {x^{2}}{9}$+$\frac {y^{2}}{4}$=1上,∴H(3cosθ,2sinθ),∵过椭圆$\frac {x^{2}}{9}$+$\frac {y^{2}}{4}$=1上一点H(3cosθ,2sinθ)作圆x+y_=2的两条切线,点A,B为切点,∴直线AB的方程为:(3cosθ)x+(2sinθ)y=2,∵过A,B的直线l与x轴,y轴分布交于点P,Q两点,∴P($\frac {2}{3cosθ}$,0),Q(0,$\frac {1}{sinθ}$),∴△POQ面积S=$\frac {1}{2}$×$\frac {2}{3cosθ}$×$\frac {1}{sinθ}$=$\frac {2}{3}$×$\frac {1}{sin2θ}$,∵-1≤sin2θ≤1,∴当sin2θ=1时,△POQ面积取最小值$\frac {2}{3}$.

点评:

本题考查三角形面积的最小值的求法,具体涉及到椭圆、圆、直线方程、三角函数、参数方程等基本知识点,解题时要认真审题,注意等价转化思想的合理运用.

单选题

已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{matrix}x=4-2t \\ y=t-2 \ \end{matrix}\right.$(t为参数),P是椭圆$\frac {x}{4}$+y2=1上任意一点,点P到直线l的距离的最大值是(      )

A

3

B

3$\sqrt {5}$-2

C

3$\sqrt {3}$

D

$\frac {2\sqrt {10}}{5}$

题目答案

D

答案解析

分析:

把参数方程化为普通方程,求出点P到直线l的距离d=$\frac {2\sqrt {2}| sin(θ+\frac {π}{4})|}{\sqrt {5}}$,令 θ=kπ+$\frac {π}{4}$,即得d 的最大值.

解答:

解:直线l的参数方程为$\left\{\begin{matrix}x=4-2t \\ y=t-2 \end{matrix}\right.$,(t为参数)故直线l的普通方程为x+2y=0.因为P为椭圆 $\frac {x^{2}}{4}$+y2=1上任意点,故可设 P(2cosθ,sinθ) 其中 θ∈R.因此点P到直线l的距离是 d=$\frac {|2cosθ+2sinθ|}{\sqrt {1+4}}$=$\frac {2\sqrt {2}| sin(θ+\frac {π}{4})|}{\sqrt {5}}$,故当 θ=kπ+$\frac {π}{4}$ 时,d 取得最大值


$\frac {2\sqrt {2}| sin(kπ+\frac {π}{4}+\frac {π}{4})|}{\sqrt {5}}$=$\frac {2\sqrt {10}}{5}$,所以选D.

点评:

本题考查把参数方程化为普通方程的方法,点到直线的距离公式的应用,正弦函数的最值.求出点P到直线l的距离d=$\frac {2\sqrt {2}| sin(θ+\frac {π}{4})|}{\sqrt {5}}$,是解题的关键.

单选题

下列情况中的运动物体,不能被看成质点的是(  )

A
研究绕地球飞行时航天飞机的轨道
B
研究飞行中直升飞机上的螺旋桨的转动情况
C
计算从北京开往上海的一列火车的运行时间
D
计算在传送带上输送的工件数量

题目答案

B

答案解析

分析:

根据物体看成质点的条件:物体的大小和形状对所研究的问题没有影响或影响可忽略不计进行判断.

解答:

解:A、研究绕地球飞行的航天飞机的轨道时,航天飞机大小与轨道半径相比可以忽略不计,可以看成质点;

B、研究飞行中的直升机的螺旋桨的转动情况,要考虑其长度,故不能简化为质点;

C、研究从北京开往上海的一列火车,火车长度与位移相比很小,可以忽略不计,故可以简化为质点;

D、计算在传送带上输送的工件数量时,工件的形状和大小可以忽略不计,故可以简化为质点,

本题选不能被看成质点的,故选:B.

点评:

物体能否看成质点,不是看物体绝对质量或体积,而是看物体的大小和形状对所研究的问题影响能否忽略不计.

单选题

关于质点,下列说法正确的是(  )

A
质点是一个体积很小的物体
B
质量很小的物体就可以看作质点
C
在某些情况下地球也可以看作质点
D
无论大物体还是小物体,在机械运动中一律看作质点

题目答案

C

答案解析

分析:

物体可以看成质点的条件是看物体的大小体积对所研究的问题是否产生影响,同一个物体在不同的时候,有时可以看成质点,有时不行,要看研究的是什么问题.

解答:

解:A、质点是忽略了物体的形状和大小,把物体看成一个具有质量的点,这是为了研究问题方便而建立的理想化模型,实际不存在,不是体积很小的点,所以A错误;

B、原子核很小,但在研究原子核内部的结构的时候是不能看成质点的,所以B错误;

C、研究地球的公转时,地球的大小相对于地球和太阳的距离来说是很小的,所以可以看成质点,故C正确;

D、当物体的形状、大小对所研究的问题没有影响时,我们才可以把它看成质点,故D错误.

故选C.

点评:

考查学生对质点这个概念的理解,关键是知道物体能看成质点时的条件,看物体的大小体积对所研究的问题是否产生影响,物体的大小体积能否忽略.

单选题

关于质点,以下说法正确的是(  )

A
质点就是很小的物体,如液滴、花粉颗粒、尘埃等
B
体积很大的物体一定不能看作质点
C
一山路转弯处较狭窄,司机下车实地勘察,判断汽车是否能安全通过.此时在司机看来,汽车是一个质点
D
描绘航空母舰在海洋中的运动轨迹时,航空母舰可看作质点

题目答案

D

答案解析

分析:

当物体的形状、大小对所研究的问题没有影响时,我们就可以把它看成质点,根据把物体看成质点的条件来判断即可.

解答:

解:A、当物体的形状、大小对所研究的问题没有影响时,我们就可以把它看成质点,与体积大小无关,体积很大的物体也能看成质点,比如地球的公转,故A错误.

B、能否看成质点,与体积大小无关,体积很大的物体也能看成质点,比如地球的公转,故B错误.

C、判断汽车是否能安全通过时,汽车的大小不能忽略,不能看成质点,故C错误.

D、描绘航空母舰在海洋中的运动轨迹时,航空母舰的大小和形状可以忽略,可以看成质点,故D正确.

故选D.

点评:

考查学生对质点这个概念的理解,关键是知道物体能看成质点时的条件,看物体的大小体积对所研究的问题是否产生影响,物体的大小体积能否忽略.

单选题

以下情景中,带下划线的物体可看成质点的是(  )

题目答案

D

答案解析

分析:

把物体看成质点的条件:当物体的形状、大小对所研究的问题没有影响时,我们就可以把它看成质点

解答:

A、裁判员在跳水比赛中给跳水运动员评分,需要研究运动员的姿势和动作,要考虑身体形状,故不可看作质点,A错误

B、在国际大赛中,乒乓球运动员王浩准备接对手发出的旋转球,要考虑球的大小和形状,不可看作质点,故B错误

C、研究“嫦娥一号”从地球到月球的飞行姿态,要考虑其形状,不可看作质点,故c错误

D、用GPS确定远洋海轮在大海中的位置,海轮相对于茫茫大海来比,其大小可以忽略,看其为质点,故D正确

故选D

点评:

考查学生对质点这个概念的理解,关键是知道物体能看成质点时的条件,看物体的大小、体积对所研究的问题是否产生影响,物体的大小、体积能否忽略

单选题

下列有关质点的说法中正确的是(  )

A
只有质量和体积都极小的物体才能视为质点
B
研究一列火车过铁路桥经历的时间时,可以把火车视为质点
C
研究自行车的运动时,因为车轮在不停地转动,所以在任何情况下都不能把自行车作为质点
D
虽然地球很大,还在不停地自转,但是在研究地球的公转时,仍然可以把它视为质点

题目答案

D

答案解析

分析:

当物体的形状和大小在所研究的问题中可以忽略,物体可以看成质点.

解答:

解:A、物体能否看成质点,不是看物体的质量和体积大小,是看形状和大小在所研究的问题中能否忽略.故A错误.

B、研究火车过桥,火车的长度不能忽略,火车不能看成质点.故B错误.

C、研究车轮的转动,车轮的形状不能忽略,自行车不能看成质点.但在研究自行车的运动速度时,就可以忽略自行车的自身大小,则可把自行车看作质点.故C错误.

D、地球很大,在研究地球公转时,地球的大小与日地距离比较,可以忽略,可以看出质点.故D正确.

故选D.

点评:

解决本题的关键是掌握物体能否看作质点的条件,关键看物体的形状和大小在所研究的问题中能否忽略.